SUR LA THÉORIE DES QUANTITÉS POSITIVES ET NÉGATIVES

On a beaucoup disputé sur la nature des quantités positives ou négatives, et l'on a donné à ce sujet diverses théories. Celle que nous avons adoptée {voir les Préliminaires, pages 2 et 3) nous paraît la plus propre à éclaircir toutes les difficultés. Nous allons d'abord la rappeler en peu de mots. Nous montrerons ensuite comment l'on en déduit la règle des signes.

De même qu'on voit l'idée de nombre naître de la mesure des grandeurs, de même on acquiert l'idée de quantité (positive ou négative) lorsque l'on considère chaque grandeur d'une espèce donnée comme devant servir à l'accroissement ou à la diminution d'une autre grandeur fixe de même espèce. Pour indiquer cette destination, on représente les grandeurs qui doivent servir d'accroissements par des nombres précédés du signe +, et les grandeurs qui doivent servir de diminutions par des nombres précédés du signe — . Cela posé, les signes + ou — placés devant les nombres peuvent être comparés, suivant la remarque qui en a été faite ('), à des adjectifs placés auprès de leurs substantifs. On désigne les nombres précédés du signe -i- sous le nom de quantités positives, et les nombres précédés du signe — sous le nom de quantités négatives. Enfin, l'on est convenu de ranger les nombres absolus qui ne sont précédés d'aucun signe dans la classe âes quantités positives; et c'est pour cette raison qu'on se dispense quelquefois d'écrire le signe -+- devant les nombres qui doivent représenter des quantités de cette espèce.

En Arithmétique, on opère toujours sur des nombres dont la valeur particulière est connue, et qui sont par conséquent donnés en chiffres; tandis que dans l'Algèbre, où l'on considère les propriétés générales des nombres,

(') Transactions pliilosopldques, année 180G.

on représente ordinairement ces mêmes noml)res par des lettres. Une quantité se trouve alors exprimée par une lettre précédée du signe + ou — . Au reste, rien n'empêche de représenter les quantités par de simples lettres aussi bien que les nombres. C'est un artifice qui augmente les ressources de l'Analyse; mais, lorsqu'on veut en faire usage, il est nécessaire d'avoir égard aux conventions suivantes.

Comme, dans le cas où la lettre A représente un nombre, on peut, d'après ce qui a été dit ci-dessus, désigner la quantité positive dont la valeur numérique est égale à A, soit par -i- A, soit par A seulement, tandis que — A désigne la quantité opposée, c'est-à-dire la quantité négative dont A est la valeur numérique : ainsi, dans le cas où la lettre a représente une quantité, on regarde comme synonymes les deux expressions a et -i-a, et l'on désigne par — a la quantité opposée.

D'après ces conventions, si l'on représente par A soit un nombre, soit une quantité quelconque, et que l'on fasse

a =: 4- A, ft r=^ A,

on aura

+ «iir-i-A, 4-6=— A,

Si dans les quatre dernières équations on remet pour « et 6 leurs valeurs entre parenthèses, on obtiendra les formules

Dans chacune de ces formules le signe du second membre est ce qu'on appelle le produit des deux signes du premier. Multiplier deux signes l'un par l'autre, c'est former leur produit. L'inspection seule des équations (i) suffît pour établir la règle des signes, comprise dans le théorème que je vais énoncer.

Théorème L — Le produit de deux signes semblables est toujours -\-, et le produit de deux signes opposés est toujours — .

Il suit encore des mêmes équations que le produit de deux signes, lorsque l'un des deux est 4-, reste égal à l'autre. Si donc on a plusieurs signes à multiplier entre eux, on pourra faire abstraction de tous les signes 4-. De cette remarque on déduit facilement les propositions suivantes :

Théorème IL — Si ion multiplie plusieurs signes les uns par les autres

dans un ordre quelconque, le produit sera toujours +, lorsque les signes — seront en nombre pair, et le produit sera — , da?is le cas contraire.

Théorème III. — Le produit de tant de signes que l'on voudra reste le même, dans quelque ordre qu'on les multiplie.

Une conséquence immédiate des définitions qui précèdent, c'est que la multiplication des signes n'a aucun rapport avec la multiplication des nombres. Mais on n'en sera point étonné, si l'on observe que la notion du produit de deux signes se présente dès les premiers pas que l'on fait en Analyse, puisque dans l'addition ou la soustraction d'un monôme on multiplie réellement le signe de ce monôme par le signe + ou — .

En partant des principes que nous venons d'établir, on lèvera facilement toutes les difficultés que peut offrir l'emploi des signes + et — dans les opérations de l'Algèbre et de la Trigonométrie. Seulement il faudra distinguer avec soin les opérations relatives aux nombres de celles qui se rapportent aux quantités positives ou négatives. On devra surtout s'attacher à fixer d'une manière précise le but des unes et des autres, à définir leurs résultats et à en montrer les propriétés principales. C'est ce que nous allons essayer de faire en peu de mots, pour les diverses opérations que l'on a coutume d'exécuter.