ADDITION ET SOUSTRACTION

Sommes et différences des nombres. — Ajouter au nombre A le nombre B ou, en d'autres termes, faire subir au nombre A l'accroissement + B, c'est ce qu'on appelle faire une addition arithmétique. Le résultat de cette opération s'appelle somme. On l'indique en plaçant à la suite du nombre A son accroissement -f- B, ainsi qu'il suit :

On ne démontre pas, mais on admet comme évident que la somme de plusieurs nombres reste la même dans quelque ordre qu'on les ajoute. C'est un axiome fondamental sur lequel reposent l'Arithmétique, l'Algèbre et toutes les sciences de calcul.

La soustraction arithmétique est l'inverse de l'addition. Elle consiste à retrancher d'un premier nombre A un second nombre B, c'est-à-dire à chercher un troisième nombre C qui, ajouté au second, reproduise le premier. C'est là aussi ce qu'on appelle faire subir au nombre A la diminution — B. Le résultat de cette opération se nomme différence. On l'indique en plaçant

à la suite du nombre A la diminution — B, ainsi qu'il suit :

Quelquefois on désigne la différence A — - B sous le nom d'excès, ou de reste, ou de rapport arithmétique entre les deux nombres A et B.

Sommes et différences des quantités. — Nous avons expliqué dans les préliminaires ce que c'est qu'ajouter deux quantités entre elles. En ajoutant plusieurs quantités les unes aux autres, on obtient ce qu'on appelle leur somme. Il est facile de démontrer, en s'appuyanl sur l'axiome relatif à l'addition des nombres, la proposition suivante :

ÏHÉonÈME IV. — La somme de plusieurs quantités reste la même, dans quelque ordre qu'on les ajoute.

On indique la somme unique de plusieurs quantités par la simple juxtaposition des lettres qui représentent soit leurs valeurs numériques, soit les quantités elles-mêmes, chaque lettre étant précédée du signe qu'elle doit avoir pour rester ou devenir propre à exprimer la quantité correspondante. Les différentes lettres peuvent d'ailleurs être disposées dans un ordre quelconque, et il est permis de supprimer le signe + devant la première lettre. Considérons, par exemple, les ([uantités

Leur somme pourra être représentée par l'expression

Dans une semblable expression, chacune des quantités

a, o, c, • . • , '^ ji ' ■ S^ "> • • •

est ce qu'on appelle un monôme. L'expression elle-même est un polynôme dont les monômes en question sont les différents termes.

Lors(iu'un polynôme renferme seulement deux, trois, quatre, . .. termes, il prend le nom de binôme, trinôme, quadrinôme, ....

On prouve aisément que deux polynômes dont tous les termes sont égaux et de signes contraires représentent deux quantités opposées.

La dijjérence entre une première quantité et une seconde, c'est une troisième quantité qui, ajoutée à la seconde, reproduit la première. En parlant de celte définition, on démontre que, pour soustraire d'une première quan-

tité a une seconde quantité b, il suffit d'ajouter à la première la quantité opposée à b, c'est-à-dire — b. On en conclut que la différence des deux quantités a et b doit être représentée par

Nota. — La soustraction étant l'inverse de l'addition peut toujours s'indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est la différence des deux quantités a et b, on peut écrire indifféremment

a — b =1 c ou a = Z>4-c.