MULTIPLICATION ET DIVISION

Produits et quotients des nombres. — Multiplier le nombre A par le nombre B, c'est opérer sur le nombre A précisément comme on opère sur l'unité pour obtenir B. Le résultat de cette opération est ce qu'on appelle le produit de A par B. Pour bien comprendre la définition précédente de la multiplication, il faut distinguer différents cas suivant l'espèce du nombre B. Or ce nombre peut être tantôt rationnel, c'est-à-dire entier ou fractionnaire, tantôt irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.

Lorsque B est un nombre entier, il suffit, pour obtenir B, d'ajouter l'unité plusieurs fois de suite à elle-même. Il faudra donc alors, pour former le produit de A par B, ajouter le nombre A à lui-même un pareil nombre de fois, c'est-à-dire faire la somme d'autant de nombres égaux à A qu'il y a d'unités dans B.

Lorsque B est une fraction qui a pour numérateur m et pour dénominateur n, l'opération par laquelle on parvient au nombre B consiste à partager l'unité en n parties égales et à répéter m fois le résultat trouvé. On obtiendra donc alors le produit de A par B, en partageant le nombre A en n parties égales, et répétant l'une de ces parties m fois.

Lorsque B est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On fait voir aisément que dans la même hypothèse le produit de A par les nombres rationnels dont il s'agit s'approche de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite sera le produit de A par B. Si l'on suppose, par exemple, B =r: o, on trouvera une limite nulle, et l'on en conclura que le produit d'un nombre quelconque ■par zéro s'évanouit.

Dans la multiplication de A par B, le nombre A s'appelle multiplicande, et

OEuvres de C, S. II, t. III. 4^

le nombre B multiplicateur. Ces deux nombres sont aussi désignés conjointement sous le nom da facteurs du produit.

Pour indiquer le produit de A par B, on emploie indifféremment l'une des trois notations suivantes :

BxA, B.A, BA.

Le produit de plusieurs nombres reste le même dans quelque ordre qu'on les multiplie. Celte proposition, lorsqu'il s'agit de deux ou trois facteurs entiers seulement, se déduit de l'axiome relatif à l'addition des nombres. On peut ensuite la démontrer successivement : i° pour deux ou trois facteurs rationnels; 2° pour deux ou trois facteurs irrationnels; 3° enfin pour un nombre quelconque de facteurs rationnels ou irrationnels.

Diviser le nombre A par le nombre B, c'est chercber un troisième nombre dont le produit par B soit égal à A. L'opération par laquelle on y parvient s'appelle division, et le résultat de cette opération quotient. ])e plus, le nombre A prend le nom de dividende, et le nombre B celui de diviseur.

Pour indiquer le quotient de A par B, on emploie à volonté l'une des deux notations suivantes :

Quelquefois on désigne le quotient A:B sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux nombres A et B.

L'égalité de deux rapports géométriques A : B, C : D ou, en d'autres termes, l'équation

A:Br=C:D

est ce qu'on appelle une proportion géométrique. Ordinairement au lieu du signe = on emploie le suivant :: qui a la môme valeur, et l'on écrit

Nota. — Lorsque B est un nombre entier, diviser A par B, c'est, d'après la définition, cbercber un nombre qui, répété B fois, reproduise A. C'est donc partager le nombre A en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans B. On conclut facilement de cette remarque que, si m et n désignent deux nombres entiers, la n'"'"" partie de l'unité devra être représentée par

et la fraction, qui a pour numérateur m et pour dénominateur w, par

Telle est, en effet, la notation par laquelle on doit naturellement désigner la fraction dont il s'agit. Mais, comme on prouve aisément que le produit

nx est équivalent au quotient de m par «, c'est-à-dire à — > il en résulte que la

même fraction peut être représentée plus simplement par la notation

Produits et quotients des quantités. — he produit d'une pi-emière quantité par une seconde est une troisième quantité qui a pour valeur numérique le produit des valeurs numériques des deux autres, et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités l'une par l'autre, c'est former leur produit. L'une des deux quantités s'appelle multiplicateur, l'autre multiplicande, et toutes les deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition suivante :

Théorème V. — Le produit de plusieurs quantités reste le même, dans quelque ordre qu'on les multiplie.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de combiner la proposition semblable relative aux nombres avec le théorème 111 relatif aux signes {voir ci-dessus, page 335).

Diviser une première quantité par une seconde, c'est chercher une troisième quantité qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. L'opération par laquelle on y parvient s'appelle division; la première quantité dividende, la seconde diviseur, et le résultat de l'opération quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes, on prouve facilement que le quotient de deux quantités a pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques, et pour signe le produit de leurs signes.

La multiplication et la division des quantités s'indiquent tout comme la multiplication et la division des nombres.

Nous dirons que deux quantités sont inverses l'une de l'autre lorsque le produit de ces deux quantités sera l'unité. D'après cette définition, la quan-

tile a aura pour inverse -> et réciproquement.

On a remarqué plus haut que ce qu'on appelle fraction en Arithmétique est égal au rapport ou quotient de deux nombres entiers. En Algèbre, on désigne aussi sous le nom de fraction le rapport ou quotient de deux quantités quelconques. Si donc a el b représentent deux quantités, leur rap-

port j sera une fraction algébrique.

Nous observerons encore que la division, étant une opération inverse de la multiplication, peut toujours s'indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est le quotient de deux quantités a et b, on peut écrire indifféremment

Y ^=^c ou a = bc.

Les produits et quotients de nombres et de quantités jouissent de propriétés générales auxquelles on a souvent recours. Nous avons déjà parlé de celle qu'a tout produit de rester le môme, dans quelque ordre que l'on multiplie ses facteurs. D'autres propriétés non moins remarquables se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient

plusieurs suites de quantités positives ou négatives. On aura, pour toutes les valeurs possibles de ces mêmes quantités,

k{a + b + c + . . .)=zka-^- kb -\- kc -\-. . .y

abc

aa' a" . . .

— bb'b"...'

k bk a ~^ a

Les quatre formules qui précèdent donnent lieu à une foule de conséquences

qu'il serait trop long d'éaumérer ici en détail. On conclura, par exemple, de la troisième formule : i° que les fractions

a ka

sont égales entre elles, a, b, k désignant des quantités quelconques; 2° que

la fraction j a pour inverse -; 3° que, pour diviser une quantité k par une

autre quantité a, il suffit de multiplier A- par la quantité inverse de a, c est-a-dire par