ELEVATION AUX PUISSANCES. EXTRACTION DES RACINES

Puissances et racines des nombres. Exposants positifs. — Elever le nombre A à \di puissance marquée par le nombre B, c'est chercher un troisième nombre qui soit formé de A par la multiplication, comme B est formé de l'unité par l'addition. Le résultat de cette opération faite sur le nombre A est ce qu'on appelle sa puissance du degré B. Pour bien concevoir la définition précédente de l'élévation aux puissances, il faut distinguer trois cas, suivant que le nombre B est entier, fractionnaire ou irrationnel.

Lorsque B désigne un nombre entier, ce nombre est la somme de plusieurs unités. La puissance de A, du degré B, doit donc alors être le produit d'autant de facteurs égaux à A qu'il y a d'unités dans B.

Lorsque B représente une fraction — {m et n étant deux nombres entiers),

il faut, pour obtenir cette fraction : 1° chercher un nombre qui, répété n fois, reproduise l'unité; 2° répéter m fois le nombre dont il s'agit. Il faudra donc

alors, pour obtenir la puissance de A, du degré — : 1° chercher un nombre

tel que la multiplication de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A; 2° former un produit de m facteurs égaux à ce même nombre. Quand on suppose en particulier m=:i, la puissance de A que l'on considère se réduit

à celle du degré -5 et se trouve déterminée par la seule condition que le

nombre A soit équivalent au produit de n facteurs égaux à cette môme puissance.

Lorsque B est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus rapprochées. On prouve facilement que dans la même hypothèse les puissances de A, marquées par les nombres ra-

3tô COURS D'ANALYSE.

tionnels dont il s'agit, s'approchent de plus en plus d'une certaine limite. Cette limite est la puissance de A du degré B.

Dans l'élévation du nombre A à la puissance du degré B, le nombre A s'appelle racine, et le nombre B, qui marque le degré de la puissance, exposant. Pour représenter la puissance de A du degré B, on se sert de la notation suivante

D'après les définitions qui précèdent, la première puissance d'un nombre n'est autre chose que ce nombre lui-même. Sa seconde puissance est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre, sa troisième de trois semblables facteurs, et ainsi de suite. Des considérations géométriques ont conduit à désigner la seconde puissance sous le nom de carré, et la troisième sous le nom de cube. Quant à la puissance du degré zéro, elle sera la limite vers laquelle converge la puissance du degré B, tandis que le nombre B décroît indéfiniment. Il est aisé de faire voir que cette limite se réduit à l'unité; d'où il résulte

qu'on a, en général,

Nous supposons toutefois que la valeur du nombre A reste finie et diffère de zéro.

Extraire du nombre A la racine marquée par le nombre B, c'est chercher un troisième nombre qui, élevé à la puissance du degré B, reproduise A. L'opération par laquelle on y parvient s'appelle extraction^ et le résultat de l'opération est la racine de A du degré B. Le nombre B, qui marque le degré de la racine, se nomme indice. Pour la représenter, on se sert de la notation suivante : *

Les racines du second et du troisième degré sont ordinairement désignées sous le nom de racines carrées et cubiques. Lorsqu'il s'agit d'une racine carrée, on se dispense presque toujours d'écrire au-dessus du signe sj l'indice 2 de cette racine. Ainsi les deux notations

v/Â, \Jk doivent être considérées comme équivalentes.

Nota. — L'extraction des racines des nombres, étant l'inverse de leur élévation aux puissances, peut toujours être indiquée de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer (|ue le nombre C est égal à la racine,de A, du

degré B, on peut écrire à volonté

A = C» ou C = v/Â.

Remarquons encore qu'en vertu des définitions, si l'on désigne par n un

nombre entier quelconque, A" sera un nombre tel que la multiplication de n facteurs égaux à ce nombre reproduise A. En d'autres termes, on aura

d'où l'on conclura

Ainsi, lorsque n est un nombre entier, la puissance de A, du degré -> et la

racine /^■ème de A sont des expressions équivalentes. On prouve facilement qu'il en est de même dans le cas oh l'on remplace le nombre entier n par un nombre quelconque.

Puissances des nombres. Exposants négatifs. — Élever le nombre A à la puissance marquée par Vexposant négatif —'Q, c'est diviser l'unité par A^. La valeur de l'expression

se trouve donc déterminée par l'équation

qu'on peut aussi mettre sous la forme

Aï*A-B = i.

Par suite, si l'on élève un môme nombre à deux puissances marquées par deux quantités opposées, on obtiendra pour résultats deux quantités positives inverses l'une de l'autre.

Puissances et racines réelles des quantités. — Si, dans les définitions que nous avons données des puissances et racines des, nombres correspondantes à des exposants, ou entiers, ou fractionnaires, on substitue le mot de quantités à celui de nombres, on obtiendra les définitions suivantes pour les puissances et racines réelles des quantités.

Élever la quantité a à la puissance réelle du degré m, m étant un nombre

entier, c'est former le produit d'autant de facteurs égaux à «qu'il va d'unités dans m.

Élever la quantité a à la puissance réelle du désiré —, m et n étant deux

nombres entiers, c'est, en supposant, pour éviter toute incertitude, la frac-

lion — réduite a sa plus simple expression, former un produit de m facteurs

égaux et tellement choisis que la «'«'"« puissance de chacun d'eux soit équivalente à la quantité a.

Extraire de la quantité a la racine réelle du degré m ou —, c'est chercher

nt une nouvelle quantité qui, élevée à la puissance réelle du degré /n ou — >

reproduise a. D'après cette définition, la 71''-'°"' racine réelle d'une quantité

est évidemment la même chose que sa puissance réelle du degré -• De plus,

on prouvera facilement que la racine du degré — équivaut à la puissance du

, m .degré — • n

Enfin, élever la quantité a à la puissance réelle du degré — m ou >

c'est diviser l'unité par cette même quantité a élevée à la puissance réelle du

degré m ou —

Dans les opérations dont on vient de parler, le nombre ou la quantité qui marque le degré d'une puissance réelle de a s'appelle l'exposant de cette puissance, tandis que le nombre qui marque le degré d'une racine réelle se nomme l'indice de cette racine.

Toute puissance de a qui correspond à un exposant dont la valeur numérique est entière, c'est-à-dire à un exposant de la forme -f- m ou — m, m représentant un nombre entier, admet une valeur unique et réelle que l'on

désigne par la notation

a'" ou «-"'".

Quant aux racines, et quant aux puissances dont la valeur numérique est fractionnaire, elles peuvent admettre ou deux valeurs réelles, ou une seule valeur réelle, ou n'en admettre aucune. Les valeurs réelles dont il est ici question sont nécessairement des quantités positives ou des quantités négatives. Mais, outre ces quantités, on emploie encore en Algèbre des symboles qui, n'ayant aucune signification par eux-mêmes, reçoivent néanmoins, à cause de leurs propriétés, les noms de puissances et de racines. Ces symboles

, NOTE I. 3i5

sont du nombre des expressions algébriques auxquelles on a donné le nom à' imaginaires, par opposition à celui ù" expressions réelles, qui ne s'applique jamais qu'à des nombi'cs ou à des quantités.

Cela posé, il résulte des principes établis dans le Chapitre VII que la racine

m m ,iu-me d'une quantité quelconque a et ses puissances des degrés — i )

n étant un nombre entier et — une fraction irréductible, admettent cha-

cune n valeurs distinctes réelles ou imaginaires. Conformément aux notations adoptées dans le même Chapitre, on désignera l'une quelconque de ces valeurs, s'il s'agit de la racine n'^™% par la notation

Vi^â = ((«))«,

m m et, s'il s'agit de la puissance qui a pour exposant — ou , par la notation

{{a)y ou {{a)f^.

Ajoutons que l'expression ((a))" est comprise comme cas particulier dans

l'expression plus générale {{a))" , et que, en appelant A la valeur numérique de a, on trouvera pour les valeurs réelles des deux expressions

{(a))", ((a))"": 1" Si /i désigne un nombre impair,

a étant -t- A + A" , + A " ,

m ni

«étant— A — A^, — A~ "";

2° Si n désigne un nombre pair,

a étant + A ±A^, ±A~«".

Lorsque, dans le dernier cas, on suppose a négatif, toutes les valeurs de cha-

cune des expressions ((«))", ({a)) " deviennent imaginaires.

Si l'on fait varier la fraction — de manière qu'elle s'approche indéfiniment

d'un nombre irrationnel B, le dénominateur n croissant alors au delà de toute limite assignable, il en sera de même du nombre des valeurs imaginaires

OKuvres c/e 6'. — S. II, t. III. 44

qu'obtiendra chacune des expressions

m in

(ia)Y, {{a))~". .

Par suite on ne peut admettre dans le calcul les notations

((«))«, {{a))-\ OU, si l'on fait b =z±B, la notation

à moins de considérer une semblable notation comme propre à représenter une infinité d'expressions imaginaires. Pour éviter cet inconvénient, nous n'emploierons jamais l'expression algébrique

dans le cas où la valeur numérique de b sera irrationnelle. Seulement, dans cette hypothèse, lorsque a obtiendra une valeur positive + A, on pourra

faire usage de la notation

a'' ou (a)'',

que l'on devra considérer comme équivalente à

H- A'' (voir\e Chapitre VII, § IV).

Les puissances de nombres et de quantités jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu'il est facile de démontrer. Nous citerons entre autres celles qui se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient a, a', a", . . ., b, b', b", . . . des quantités quelconques positives ou négatives; A, A', A", ... des nombres quelconques, et m, m', m", ... des nombres entiers. On aura