PHEMIÈUE PARTIE. - CHAPITRE II

Si maintenant on pose h^-n^x, on trouvera, au lieu de l'équation (5), la formule suivante

[/(•^)]'>[/(/0]'H ■'•, de laquelle on conclura, en faisant converger a? vers la limite ce,

lim[/(^)]->H.

La limite de l'expression

sera donc supérieure au nombre H, quelque grand qu'il soit. Cette limite, supérieure à tout nombre assignable, ne peut être que l'infini positif.

Nota. — On pourrait facilement démontrer Téquation ((>), en cherchant par le théorème I la limite vers laquelle converge le logarithme

et repassant ensuite des logarithmes aux nombres.

Corollaire I. — Pour donner une application du ihéorème II, supposons

f{x) —'jc'.

on aura

/(iC + l) X-^'l I

et, par suite, en passant aux limites,

Donc, si Ton fait-croître indéfiniment la variable x, la fonction

conversera vers la limite i.

Corollaire IL — Soit, en second lieu,

en sorte que P désigne un polynôme en x du degré n. On trouvera

/(j7+l)__ \ x) X\ XJ X-\ X

et, en passant aux limites.

Si donc P représente un polynôme entier quelconque, P^ aura pour limite i.

Corollaire III.

— Soit enfin

On trouvera

et, en passant aux limites.

Par suite, [L(ir)J' a encore pour limite l'unité.

Les théorèmes I et II subsistent évidemment dans le cas même où la variable x est considérée comme ne pouvant admettre que des valeurs entières. En effet, pour rendre applicables à ce cas particulier les démonstrations que nous avons données des deux théorèmes, il suffit de concevoir que la quantité désignée par h dans chacune de ces démonstrations devienne un nombre entier très considérable. Si, dans le même cas, on représente les valeurs successives de la fonction /(:r) correspondantes aux diverses valeurs entières de ^, savoir

par

Al, Ao, A3, • • • , Art,

PRExMIERi: PARTIE. - CHAPITRE II. 03

on obtiendra à la place des théorèmes I et H les propositions suivantes :

TiiÉORKMK ni. — Si la suite des quantités

A,, Ao, A3, ..., A„, ...

est telle que la différence entre deux termes consécutifs de cette suite,

savoir

converge constamment, pour des valeurs croissantes de n, i^ers une limite fixe A, le rapport

An

n convergera en même temps vers la même limite. Théorème IV. — Si la suite des nombres

Al, A2, A;j, . . . , A„, ...

est telle que le rapport entre deux termes consécutifs, savoir

converge constamment, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fixe A, r expression

(A„)" convergera en même temps vers la même limite.

Pour montrer une application du dernier théorème, supposons

La suite A, , A^,, . . . deviendra

ef^le rapport entre deux termes consécutifs de la même suite, savoir

convergera évidemment, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite ce. Par suite, l'expression

converge vers la même limite.

On trouverait, au contraire, que l'expression

converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro.

Souvent, à l'aide des théorèmes I et II, on peut déterminer la valeur singulière que reçoit une fonction composée de la variable x, tandis que cette variable s'évanouit. Ainsi, par exemple, si l'on veut obtenir la valeur singulière de x"^ correspondante à ic = o, il suffira de chercher la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes

de X, l'expression (- J = —^- Cette limite, en vertu du théorème II

x'' (corollaire I), est égale à l'unité.

De même, on conclurait du théorème I (corollaire I) que la fonction

s'évanouit avec la variable x.

Lorsque les deux termes d'une fraclwn sont des quantités infiniment petites, dont les valeurs numériques décroissent indéfiniment avec celle de la variable a, la valeur singulière que reçoit cette fraction, pour a = o, est tantôt finie, tantôt nulle ou infinie. En effet, désignons par k, k' deux constantes finies qui ne soient pas nulles, et par £, i' deux nombres variables qui convergent avec a vers la limite zéro. Deux infiniment petits, l'un de l'ordre n, l'autre de l'ordre n', pourront être représentés respectivement par

Aa"(i±c), //a"'(i±£').