FORMATION DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES ET DES ARCS DE CERCLE
Nous avons remarqué dans les Préliminaires qu'une longueur comptée sur une ligne droite ou courbe peut être représentée tantôt par un nombre, tantôt par une quantité, suivant qu'on a simplement égard à la mesure de cette longueur, ou qu'on la considère comme devant être portée sur la ligne donnée dans un sens ou dans un autre, à partir d'un point fixe que l'on nomme origine, pour servir soit à l'augmentation, soit à la diminution d'une autre longueur constante aboutissant à ce point. Nous avons ajouté que, dans un cercle dont le plan est supposé vertical, on fixe ordinairement l'origine des arcs à l'extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et que, à partir de cette origine, les arcs se comptent positivement ou négativement suivant que, pour les décrire, on commence par s'élever au-dessus d'elle ou par s'abaisser au-dessous. Enfin, nous avons indiqué les origines de plusieurs lignes Irigonométriques qui correspondent à ces mêmes arcs dans le cas où le rayon du cercle se réduit à l'unité. Nous allons revenir un instant sur cet objet et compléter les notions qui s'y rapportent.
D'abord on établira facilement, à l'égard des longueurs comptées sur une même ligne droite ou courbe à partir d'une origine donnée, les propositions suivantes :
Théorème VI. — Soient a, b, c, . . . des quantités quelconques positives ou négatives. Pour obtenir sur une ligne droite ou courbe l'extrémité de la longueur
comptée à partir d'une origine donnée dans le sens déterminé par le signe de
la quantité
il suffira de porter sur cette ligne : i° la longueur a à partir de V origine, dans le sens déterminé par le signe de a; 2° la longueur b à partir de Vextrémitè de a, dans le sens déterminé par le signe de b; S° la longueur c à partir de l'extrémité de b, dans le sens déterminé par le signe de c, et ainsi de suite.
Théorème Vil. — Soient a et b deux quantités quelconques. Supposons de plus que l'on porte sur une ligne droite ou courbe et à partir d'une origine donnée : 1° une longueur égale à la valeur numérique de a, dans le sens déterminé par le signe de a; 1° une longueur égale à la valeur numérique de b, dans le sens déterminé par le signe de b. Pour passer de l'extrémité de la première longueur à celle de la seconde, ou réciproquement^ en suivant la ligne que l'on considère, il suffira de parcourir une troisième longueur égale à la valeur numérique de la différence a. — b.
Théorème VIII. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, l'extrémité de la longueur représentée par
sera sur la ligne donnée un point situé à distances égales des extrémités des longueurs a et b (les distances étant comptées sur la ligne elle-même).
Appliquons maintenant ces théorèmes aux arcs mesurés sur la circonférence d'un cercle dont le plan est vertical, et dont le rayon équivaut à l'unité, l'origine des arcs étant fixée à l'extrémité du rayon tiré horizontalement de gauche à droite. Si l'on désigne par r, suivant l'usage, le rapport de la circonférence au diamètre, le diamètre étant égal à 2, la circonférence entière se trouvera exprimée par le nombre 271, la moitié de la circonférence par le
nombre ::, et le quart par -• Si, de plus, on désigne par a un arc quelconque
positif ou négatif, on conclura du théorème VI que, pour obtenir l'extrémité
de l'arc
a -{- 2mT[ ou a — 2mr.
(m étant un nombre entier), il faut porter sur la circonférence, à partir de l'extrémité de l'arc a, soit dans le sens des arcs positifs, soit dans le sens des arcs négatifs, une longueur égale à 2771-, c'est-à-dire parcourir /?i fois la circonférence entière dans un sens ou dans l'autre, ce qui ramènera nécessairement au point d'où l'on était parti. Il en résulte que les extrémités des
arcs
a et a ±277irL
coïncident.
On conclura également des théorèmes VI ou VII : 1° que les extrémités
des arcs
a et a ±r.
comprennent entre elles un arc égal à r, et se confondent par conséquent avec les extrémités d'un môme diamètre; 2° que les extrémités des arcs
a et a ± —
comprennent entre elles un quart de circonférence, en sorte qu'elles coïncident avec les extrémités de deux rayons perpendiculaires l'un à l'autre. Entin, on conclura du théorème VIII : 1° que les extrémités des arcs
a et T. — a
sont situées à égales dislances de l'extrémité de l'arc
et par conséquent placées symétriquement de part et d'autre du diamètre vertical; 2" que les extrémités des arcs
a et a
sont situées à égales distances de l'extrémité de l'arc
Les arcs
71 — a et a,
dont il est ici question, sont respectivement appelés le supplément et le complément de l'arc a. En d'autres termes, deux arcs représentés par deux quantités a et b sont suppléments ou compléments l'un de l'autre suivant que l'on a
a -^0 = 71 ou a + 6r=--
Puisque les angles au centre qui ont pour côté commun le rayon mené par l'origine des arcs croissent ou diminuent proportionnellement aux arcs qui leur servent de mesure, et que ces angles eux-mêmes peuvent être considérés comme les accroissements ou diminutions de l'un d'eux pris à volonté, rien ne s'oppose à ce qu'ils soient désignés par les mômes quantités que les arcs. C'est une convention que l'on a effectivement, adoptée. On dit aussi que deux angles sont compléments ou suppléments l'un do l'autre, lorsque les arcs correspondants sont eux-mêmes compléments ou suppléments l'un de l'autre.
Passons maintenant à l'examen des lignes trigonométriques; et, dans ce dessein, considérons un seul arc représenté par la quantité a. Si on le projette successivement : i° sur le diamètre vertical; 2° sur le diamètre horizontal, les deux projections seront ce qu'on appelle le sinus et le sinus verse de l'arc a. On peut observer que la première est en même temps la projection, sur le diamètre vertical, du rayon qui passe par l'extrémité de l'arc. Si l'on prolonge ce même rayon jusqu'à la rencontre de la tangente au cercle mené par l'origine des arcs, la partie de cette tangente interceptée entre l'origine et le point de rencontre sera ce qu'on appelle la tangente trigonométrique de l'arc a. Enfin la longueur comptée sur le rayon prolongé entre le centre et le point de rencontre sera la sécante de ce même arc.
Les cosinus et cosinus verse d'un arc, sa cotangente et sa cosécante ne sont autre chose que les sinus et sinus verse, la tangente et la sécante de son complément, et constituent, avec le sinus, le sinus verse, la tangente et la sécante de ce même arc, le système complet de ses lignes trigonométriques.
D'après ce qui a été dit ci-dessus, le sinus d'un arc se compte sur le diamètre vertical, le sinus verse sur le diamètre horizontal, la tangente sur la ligne qui touche le cercle à l'origine des arcs, et la sécante sur le diamètre mobile qui passe par l'extrémité de l'arc donné. De plus, les sinus et sécantes ont pour origine commune le centre du cercle, tandis que l'ori-
gine des tangentes et des sinus verses se confond avec celle des arcs. Enlin, on est généralement convenu de représenter par des quantités positives les lignes Irigonométriques de l'arc a, dans le cas où cet arc est positif el moindre qu'un quart de circonférence; d'oi^i il suit que l'on doit compter positivement le sinus et la tangente de bas en haut, le sinus verse de droite à gauche, et la sécante dans le sens du rayon mené à l'extrémité de l'arc a. En partant des principes que nous venons d'adopter, on reconnaîtra immédiatement que le sinus verse, et par suite le cosinus verse, sont toujours positifs; et, de plus, on déterminera sans peine les signes qui doivent affecter les autres lignes irigonométriques d'un arc dont l'extrémité est donnée. Pour rendre cette détermination plus facile, on conçoit le cercle divisé en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires entre eux, l'un horizontal, l'autre vertical; et ces quatre parties sont respectivement désignées sous les noms de premier, second, troisième et quatrième quart de cercle. Les deux premiers quarts de cercle sont situés au-dessus du diamètre horizontal, savoir le premier à droite et le second à gauche. Les deux derniers sont situés au-dessous du même diamètre, savoir le troisième à gauche et le quatrième à droite. Cela posé, comme les extrémités de deux arcs, compléments l'un de l'autre,
sont également distantes de l'extrémité de l'arc yi on en conclura qu'elles
sont placées symétriquement de part et d'autre du diamètre qui divise en. deux parties égales le premier et le troisième quart de cercle. Si l'on cherche ensuite quels signes doivent être attribués aux diverses lignes trigonométriques d'un arc autres que le sinus verse et le cosinus verse, suivant que l'extrémité de cet arc tombe dans un quart de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces signes sont respectivement
Dans Dans Dans Dans
le i*' quart le i" quart le 3" quart le 4' quart
de cercle. de cercle. de cercle. de cercle.
Pour le sinus et la cosccanle -\- -4- — —
Pour le cosinus et la sécante -t- — — -i-
Pour la tangente et la cotangenLe. . -r- — H- . —
On peut remarquer à ce sujet que le signe de la tangente est toujours le produit du signe du sinus par le signe du cosinus.
Les considérations précédentes conduisent encore à reconnaître (|ue le cosinus d'un arc se confond avec la projection du rayon qui passe par l'extrémité de cet arc sur le diamètre horizontal, et que sur ce même diamètre il doit être compté positivement de gauche à droite, à partir du centre pris pour origine; que le cosinus verse peut être mesuré sur le diamètre vertical OEuvrcsdcC. - S. ii; t. ni. 45
entre le point le plus élevé de la circonférence pris pour orip:ine et l'extrémité du sinus; que la cotangente, comptée positivement de gauche à droite sur la tangente horizontale menée au cercle par l'origine des cosinus verses, se réduit à la longueur comprise entre cette origine et le prolongement du diamètre mobile dont une moitié est le rayon mené à l'extrémité de l'arc; enfin que la cosécante, mesurée sur ce diamètre mobile, se compte positivement dans le sens du rayon dont il s'agit, et à partir du centre pris pour origine jusqu'à l'extrémité de la cotangente.
Nous avons suffisamment développé dans les préliminaires le système des notations à l'aide desquelles nous représentons les diverses lignes trigonoïiiétriques et les arcs qui leur correspondent. Nous ne reviendrons pas sur cet objet, et nous nous contenterons d'observer que les lignes trigonométriques d'un arc sont censées appartenir en môme temps à l'angle au centre qu'il mesure, et que l'on désigne par la môme quantité. Ainsi, par exemple, a, b, ... représentant des quantités quelconques, on peut dire également
que les notations
sin«, cosZ>,
expriment le sinus de l'arc ou de l'angle a, le cosinus de l'arc ou de l'angle b, ....
Nous terminerons cette Note en rappelant quelques propriétés remarquables des lignes trigonométriques.
D'abord, si l'on désigne par a une quantité quelconque, on trouvera que le sinus et le cosinus de l'angle a sont toujours liés entre eux par l'équation
(6) sin^a + cos^a =: I,
et que les autres lignes trigonométriques peuvent êlre exprimées au moyen de ces deux premières ainsi qu'il suit :
sina , I
siva r= i — cosa, tangrt = , sec«!:= -;
cosa cos«
/ cosiva = i — sina, cotrt'^r
sin« sina
ï . . cosa . I
rcosiva = i — sma, ^ot*^ = ;:]Trr' ^^sec a = -.;;--
Des formules (6) et (7) on déduira facilement plusieurs autres équations, par exemple
(8) cotn!:=r ., séc*a =: I +- tang-rt, coséc*a = r + cot^a, ....
tanga
Il est encore aisé de voir (jue, si la quantité positive R rej)résente la Ion-
gueur d'une droite entre deux points, et a l'angle aigu ou obtus que forme celte droite avec un axe fixe, la projection de la longueur donnée sur l'axe fixe sera mesurée par la valeur numérique du produit
Rcosa,
et la projection de la même longueur sur une perpendiculaire à l'axe par la
valeur numérique du produit
Rsina.
Enfin on reconnaîtra sans peine que, si, en partant d'un point pris au hasard sur la circonférence du cercle qui a pour rayon l'unité, on parcourt sur cette circonférence, dans un sens ou dans un autre, une longueur égale à la valeur numérique d'une quantité quelconque c, le plus petit arc compris entre les
extrémités de cette longueur sera inférieur ou supérieur à -? suivant que
cosc sera positif ou négatif.
Ces principes étant admis, concevons que sur la circonférence dont on vient de parler on détermine : i° les extrémités A et B des arcs représentés par deux quantités quelconques a et b ; 2° l'extrémité N d'un troisième arc
représenté par Soit, en outre, M le milieu de la corde qui joint les
points A, B, et supposons que le point M se projette sur le diamètre horizontal du cercle en un certain point P. Si les longueurs mesurées sur ce diamètre, à partir du centre pris pour origine, sont comptées positivement de gauche à droite, ainsi que les cosinus, la distance du centre au point P devra être représentée (en vertu du théorème VIII) par la quantité
cosa -r- co&h
De plus, comme (en vertu du môme théorème) le point N est situé à égales
distances des points A et B, le diamètre qui passe par le point N renfermera
le milieu M de la corde AB; et la distance de ce milieu M au centre du cercle
sera égale (abstraction faite du signe) au cosinus de chacun des arcs ISA, NB,
ou, ce qui revient au même, à
cos a — cos b ] — cos
Pour obtenir la projection horizontale de celte dislance, il suffira de la multiplier par le cosinus de l'angle aigu compris entre le ravon tiré horizontale-
nient de gauche à droite et le diamètre qui renferme le point N, c'est-à-dire par un facteur égal (au signe près) à cos • En d'autres termes, la distance du centre au point P aura pour mesure la valeur numérique du produit
a — h n -\- h cos cos •
J'ajoute que ce produit sera positif ou négatif, suivant que le point M sera
situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En effet, cos est positif
ou négatif, suivant que le point N est situé par rapport à ce diamètre du
côté dro produit
situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En effet, cos est positif
tué par rapport à C( côté droit ou du côté gauche, et cos est positif ou négatif; par suite le
a — h a -f- h cos cos
est de même signe que cos j ou de signe contraire, suivant que, chacun
des arcs NA, NB étant inférieur ou supérieur à -> le point M se trouve
situé du môme côté que le point N ou du côté opposé. Comme d'ailleurs la verticale qui passe par le point M renferme aussi le point P, il suit de la remarque précédente que la distance du centre au point P, dans le cas même où l'on a égard aux signes, peut être représentée par le produit
a — b a + b cos cos •
, . , . , cos« -H cos 6 , , V • 1 ^
(]e produit et la quantité ont donc le meine signe, avec la même
valeur numérique ; et l'on a, par conséquent, pour toutes les valeurs possibles des quantités a et b,
(g) cos (7 -H COS 6 =- 2 cos ■ — COS — — •
Si dans l'équation (9) on remplace b par tt -h b, on en tirera
. b — a . a -\- b (10) cosrt — cos/^ =: 2 sin — sin
De plus, si dans les é(|uations (9) et (10) on substitue aux angles a q\. b leurs
compléments - — a, - — ^ on obtiendra les suivantes :
i sina 4- sin6 =; 2 cos
f sina
sin6 = 2 sin
sin
cos
Les formules (9), (10) et (11) une fois établies, on en déduira facilement un ffrand nombre d'autres. On trouvera, par exemple,
sin« — imb tangua — b) sina-t-sin^; "" tang|(a+ b)'
\ "^^t""^^^-^tangi(a-6)ta«gKaH-Z;), \ cos y -h cos a
i cos(a— Z^) + cos(a + Z*) = 2cosacosZ', I cos(a — 6) — cos(a+Z>) = 2sin«sin/^,
i sin(a + 6) + sin(a — 6) = 2sin«cos6, I sin(a + 6) — sin(« — Z')=:2 sin&cosa,
( cos(a ± ^) = cosacos^ q= sina sinô, ( sin(a ±1 Z^) = sina cosè ±: sin^cosa.
, , ,, langai tango (16) ta"S(«±^) = 7^lîuI^aT^nP'
cos2a = cos^a — sin^a — 2 cos^a — 1=1 — 2 sin- a, sin 2 a r:^ 2 sin a cos a.
Soient maintenant a, b, c trois angles quelconques. On tirera de la première des formules (i3)
( co&ia -t- b + c) + cos(Z> + c — a) + cos(c + a— b) 4-cos(rt + b — c)
f =4cosa cos6 cosc.
Si dans la formule précédente, au lieu de a, b, c, on écrit \a, ^,b, *c, puis que l'on suppose
(19) a-{- b + c=zT:,
on trouvera
• , • .abc
(20) sma+ sin6 + sin c=: 4 cos- cos- cos--
Dans la mémo hypothèse, la formule (i6) donnera
(21 y tang(7 + tang^ + lange = tanga tang7> lange.
L'équation (20) devant subsister, ainsi que l'équation (19), lorsque l'on y remplace deux des angles «, b, c par leurs suppléments, et qu'on change le signe du troisième, on en conclura
sm b H- sin c — sm a = 4 cos - sin - si n - ,
(22) <^ sine H- siurt — sm^ := 4 sin - cos - sin ->
. sin a 4- sin/> — sine =: 4 sin ~ sm - cos - •
De ces dernières formules combinées entre elles et avec l'équation (20) on déduit les suivantes :
/ ,, (sina H- sinô + sine) (sin^ -l- sine — siurt)
cos--|a— ^ , ■ ■ ; ^ ,
\ 4sin^sinc
y . 5, (sine + sina — sin(^) (sinrt H- sin6 — sine)
f sin^-J-flr — ^ ^~i-^ L .
\ ~ 4 sin 6 sine
Enfin, si l'on imagine que a, b, c désignent les trois angles d'un triangle, et que les côtés opposés soient respectivement A, B, C, six produits égaux deux à deux, savoir
B sine =rC sin (?;, C sino- — A sine, Asin^ =1 B sina,
représenteront les perpendiculaires abaissées des sommets sur les trois côtés. On aura, par suite,
, ,x sin« s\nh sine
( 24 ) rr: — • — — - •
et les équations (28) deviendront
^ ,, (A-f-B-f-C)(B + C-A) cos^'«^ 4W— '
,i„..^(C-^A-B)(A-4-B-C) sin ^a- ^^
De plus, en ayant égard aux formules (19) et (24), on tirera de la première
des équations (12)
(26) tangua — b) r= ^ ^ j^ cot|c.
Les formules (19), (24), (2.5) et (26) suffisent pour déterminer trois des six éléments d'un triangle rectiligne, lorsque les trois autres éléments sont connus, et que cette détermination est possible. On peut remarquer en outre que les valeurs de cosa et de sin«, déduites des équations (25) à l'aide des formules (17), sont respectivement
cosa = —
