L^,= LB-LB

sera positif dans le premier cas, et négatif dans le second.

Corollaire. — Si l'on se sert de la lettre l pour indiquer les logarithmes népériens pris dans le système dont la base est

[(Chapitre VI, § I, équation (5)], la condition

entraînera toujours la formule

Aux théorèmes qui précèdent nous ajouterons le suivant, duquel on peut déduire plusieurs conséquences importantes.

Théorème VII. — Soit x une quantité quelconque. On aura

(2) i + ^<;ex^

la lettre e désignant, à l'ordinaire, la base des logarithmes népériens.

Démonstration. — Le second membre de la formule (2) restant toujours positif, le théorème énoncé sera évident par lui-môme, si la quantité i + x est négative. Il suffira donc d'examiner le cas où l'on suppose

Or l'équation (28) du Chapitre VI (§ IV) donne, pour toutes les valeurs réelles possibles de x,

et, comme les produits

sont positifs, non seulement lorsque la quantité x est positive, mais aussi lorsque, étant négative, elle a une valeur numérique inférieure à l'unité, on tirera de l'équation (4), toutes les fois que la condition (3) sera remplie,

Corollaire î. — Si, dans le cas où i-hJ? est positif, on prend les logarithmes népériens des deux membres de la formule (2), on obtiendra la suivante

(5) l{\-^ xXx

[voir le corollaire du théorème VI). Cette dernière subsiste donc toutes les fois que son premier membre est réel.

Corollaire //. — Soient x, y, z, ... plusieurs quantités assujetties aux conditions

On aura, en vertu de la formule (2),

1 -h ^ < e^, 14- y < e^, \ + z <,e'% . . . , et l'on en conclura (théorème II)

Cette dernière formule subsiste donc toutes les fois que son premier membri' ne renferme que des facteurs positifs.

Corollaire III. — Si dans le corollaire précédent on suppose

x=zao(., y:=za'oL', z -=1 a" a" , ...,

a, a.', a", . . , désignant des quantités positives, et a, a', a", . . . d'aulres quantités respectivement supérieures à

la formule (7) deviendra

Si de plus les quantités a, a', a\ . .-. sont toutes inférieures à une cerlaine limite A, on aura (en vertu des théorèmes I et III)

aa -H a'a'4- a" <x" -k- . . .< A(i3£ + «'-h a^-h. . .), et par suite on trouvera définitivement

<8) (i + aa) {\ + a' a!) (i 4- «"a^). , . < e*(='+=''+='"+--\

La formule (8) peut être employée avec avantage dans l'intégration par approximation des équations différentielles.

Passons maintenant aux théorèmes sur les moyennes. Ainsi qu'on l'a déjà dit {Préliminaires, p. i4), on appelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l'on considère. D'après cette définition, la quantité h sera moyenne entre les deux quantités g, k, ou entre plusieurs quantités parmi lesquelles l'une des deux qu'on vient de citer serait la plus grande et l'autre la plus petite, si les deux différences

sont de même signe. Cela posé, si, pour désigner une moyenne entre les quantités a, a', a", . . ., on emploie, comme dans les Préliminaires, la notation

on établira sans peine les propositions suivantes :

Théorème VIII. — Soient a, a', a", . . ., h plusieurs quantités assujetties à la condition

et r une autre quantité entièrement arbitraire. On aura toujours

(10) r/i=zM{ra,ra',ra", . . .).

Démonstration. — En effet, désignons par g la plus grande, et par /. la plus petite des quantités a, a', a'', Les deux différences

3G6 COUKS D'ANALYSE.

soronl positives, et par suite les produits

ou, ou d'autres termes, les deux différences

rg — r/i, r/i — /7i seront de même signe. On aura donc

rA = M ( rg, rk )

et, à plus forte raison,

rh r= M(/"rt, ra' , ra" , . . .),

attendu (jue rg, rk sont nécessairement deux des produits

ra, ra' , ra" , ....

Théorème W, — Soient A, A', A", . . ., 11 plusieurs nombres qui satisfassent à la condition