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seront toutes positives. En multipliant les deux premières par b, les deux suivantes par b' , etc., on obtiendra les produits

gb — a et a — kb^ gb'—a' et a'~kb', gb"— a" et a"- kb".

(|ui seront tous de même signe, aussi bien que les quantités b, b', b", Par

suite, les sommes de ces deux espèces de produits, savoir

et les quotients de ces sommes par b -[- b' -y- b" ■+-. . ., savoir

a H- «'+ a"-4-. . . rt --1- a'+ «"-h. . ,

seront encore des quantités de même signe; d'où l'on conclura

{voir dans les Préliminaires le tbéorème 1 et la formule (6)].

Corollaire I. — En supposant les quantités b, b', b" , . . . réduites à l'unité,

on trouve

(j8) z=zM{a,a',a", . . .). \

Le premier membre de la formule précédente est ce qu'on appelle la moyenne arithmétique entre les quantités a, a', a", ....

Corollaire IL — La moyenne entre plusieurs quantités égales se confondant

a a' a!' avec chacune d'elles, si les fractions -ri -7-;' tt' •■• deviennent égales, on

aura

ce qu'il est d'ailleurs facile de prouver directement.

Corollaire III. — Si l'on désigne par a, a', a", ... de nouvelles quantités qui soient toutes de même signe, on aura, en vertu de l'équation (17),

a« + a a + a « +. . . ,/aa a a' a a

ab-h a'b'-^oi."b" + ... ~'^'^\ab' a' b' ' ^"''

Cette dernière formule suffit pour établir le théorème III des Préliminaires.

Théorème XIII. — Soient A, A', A", . . ., B, B', B", . . . deux suites de nombres pris à volonté ; et formons avec ces deux suites, que nous supposerons renfermer chacune un nombre n de termes, les racines

y\, Va', Vâ^, ....

On aura

(21) \/AA'A". . . = M(\/A, sfk!, v^, ...).■

Démonstration. — Les logarithmes des quantités

•"""•^""■■^/ÂÂ■^A^T:, ;yÂ, Vâ^, Vâ^, ...

indiqués par la caractéristique /sont respectivement

/A+/A^+/A'^+... Ik Ik' lA" B + B'+B"+... ' B' W Ir' ■■■'

OEuvres de C. — S. Il, t. III. 4?

et réqunlion (17) fournit entre ces logarithmes la relation suivante:

/A + /A'+/A" + ... ,.//A Ik' Ik" — Mf

Si maintenant on repasse des logarithmes aux nombres, ce qui est permis en vertu (lu théorème X, on retrouvera la formule (21).

Corollaire /. — En supposant les nombres B, B', B", . . . réduits à l'unité, on a simplement

(9.2) '\/ÂÂ'T"~ ■= M ( A, A' , A", . - . ) •

Le premier membre de la formule précédente est ce qu'on appelle la moyenne géométrique entre les nombres A, A', A", ....

Corollaire IL — Si toutes les racines

r^, Vr, Vx% ...

deviennent égales, leur moyenne se confondra avec chacune d'elles. Oti aura donc alors

( 23 ) """ ^" ■^- VA A' A" . . . = yi =. VÂ^ = VA'' = . . . ,

ce qu'il serait facile de prouver directement.

La valeur numérique d'une moyenne entre plusieurs quantités données n'est pas toujours une moyenne entre leurs valeurs numériques. Ainsi, [)ar exemple, quoique — i soit une quantité moyenne entre — 2 et +3, cependant l'unité n'est jnis une valeur moyenne entre 2 et 3. Parmi les diverses manières d'obtenir une moyenne entre les valeurs numériques de n quantités

l'une des plus simples consiste à former d'abord la moyenne arithmétique

entre les carrés

et à extraire ensuite la racine carrée du résultat. En opérant ainsi, on trouvera premièrement

puis, en ayant égard au corollaire du théorème IX,

/ /s \]a--\- a''^-\- a"''--^- . . . ,,/ /-r; i—n, j-ia \

(2/4) , ^^ p. = iM(\/«% \Ja'-, v/«"% . . .).

\] Il

Or les quantités positives

représentant précisément les valeurs numériques des quantités données

il suit de la formule (24) qu'on obtiendra une moyenne entre ces valeurs, si l'on divise par \/n l'expression très simple

Cette expression, qui surpasse la plus grande des valeurs numériques dont il s'agit, est ce qu'on pourrait appeler le jnodule du système des quantités a, a' , a", .... Le module du système de deux quantités a eA b ne serait alors autre chose que le module même de l'expression imaginaire a + bsj—i {voir le Chapitre VII, § II). Quoi qu'il en soit, les expressions réelles de la

forme

jouissent de propriétés très remarquables. Dans la Géométrie, elles servent à déterminer les longueurs mesurées en ligne droite, et les aires de surfaces planes, par le moyen de leurs projections orthogonales. En Algèbre, elles fournissent le sujet de plusieurs théorèmes importants, parmi lesquels je me contenterai d'énoncer ceux qui suivent.

Théorème XIV. — Si les fractions

sont égales, la valeur numérique de chacune d'elles sera exprimée par le rapport

en sorte qu'on aura

\fâ^-

le signe + ou le signe — devant être adopté suivant que les fractions proposées sont positives ou négatives.

Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, les fractions

//.' /y2' ^' seront égales, et l'on aura, en conséquence,

b^ b'^ ir- h-'^b'^^ b"- -i- . . .

En extrayant les racines carrées, on retrouvera la formule (25).

Théorème XV. — Soient a, a', d' , ... des quantités quelconques, en nombre n. Si ces quantités ne sont pas toutes égales entre elles, la valeur numérique de la somme

sera inférieure au produit

\/n v/«''4-a'~*+a"*+... ; en sorte qu'on aura

( 26 ) val . n u m . ( a + (7' -h a" + . . . ) < v^/^ \Ja^-^ «'^"«"2+777 .

Démomtration. — En effet, si au carré de la somme

rt! + a' H- «" 4- . . .

on ajoute les carrés des différences entre les quantités a, a\ a", . . . combinées deux à deux de toutes les manières possibles, savoir

{a-a'y, {a-a"y-, ..., {a'-~a"y, ..., on trouvera

et l'on en conclura

(rt + a' + rt" + . . . y <n(a^-h a"^ + a"'' ■+-:..).

En extrayant les racines carrées positives des deux membres de celte dernière formule, on obtiendra précisément la formule (26).

Corollaire. — Si l'on divise par n les deux membres de la formule (26), on trouvera

, „, , a-i- a' -^ a" -\-. . . da'--^ a'^ -\- a"'^^ . . .

(20) val. num. < -^^ ^

Ainsi la valeur numérique de la moyenne arithmétique entre plusieurs quantités a, a', a", ... est inférieure au rapport

qui représente, comme on l'a remarqué plus haut, une moyenne entre les valeurs numériques de ces mêmes quantités.

Scolie I. — Lorsque les quantités a, a', a", ... deviennent égales, on a évidemment

va