num.(<7 + a'H- a" + . . .) tr=y/« sja^'+ a''^+ a

Scolie H. — Si dans l'équation (27) on pose successivement n=i2, «7=3, ..., on en conclura

Théorème XVI. — Soient a, a', a", . . ., a, an' , a", . . . deux suites de (fuantités, et supposons que chacune de ces suites renferme un nombre n de termes. Si les rapports

ne sont pas tous égaux entre eux, la somme

aix + a' ol' -\- a" a." + . . .

sera inférieure au produit

)Ja^-\-a"'-\^"-' + . .. v/a' + a'^ 4- a"^ + . . . ;

en sorte qu'on aura

i val. num. («a + a'a'-f- a"a" + . . .) (3o) ^

Démonstration. — En efïel, si au carré de la somme

fl-a -+- a' cf! -A- a" ol" + . . .

ou ajoute les numérateurs des fractions qui représentent les carrés des diffé-

l'cnces entre les rapports

a a a combinés entre eux de toutes les manières possibles, savoir

{ay.' — a' (x)-, {aa." — a" oi.)-, ..., {a' x" — a" a' )-, ..., on trouvera

{ax -h a'cK'-\- a"a." -'r- . . .y (3i) ' -^{ax' — a'xy-^{ax"—a"xy-^...^{a'x'—a"a'y+...

{ ■-{a--\~a"-+-a"'r^...)(x'--\-x'-'-hx"' + ...), et l'on en conclura

{ax + a'a'+ a" a" -i- . . .)'< («'-^ «"+ «"- -^ . • •) («'^ «"-'^ «'" + ■ • •)•

En extrayant les racines carrées des deux membres de cette dernière formule, on obtiendra précisément la formule (3o).

Corollaire, — Si l'on divise par n les deux membres de la formule (3o), on trouvera

val. num.

\/a^-ha'-'-^a"^-h... \/oc--h (x'^-h a"'-^ . . .

\ Ainsi la n^oyenne arithmétique entre les produits

a une valeur numérique inférieure au produit de deux rapports qui représentent des moyennes entre les valeurs numériques des deux espèces de quantités comprises dans les deux suites

Scolie 1. — Lorsque les rapports

a Cf. y.

deviennent égaux, on tire de la formule (3f)

et, par suite, . •

val. num.(aa + a'a'+ aW + . . .)

Il serait facile d'arriver directement au môme résultat. Scolie //. — Si dans la formule (3i) on pose sncccssivemeni

on en conclura

,11 ^ r,'l r, \-i ^ l r,l r,ll r," ri' y^

] {ax~^a'o'J-^.-a"ot"y--^- {a a' - a' ocY + {aa" — a" ^Y + {a' oc" -~ a" a' y j =z {a'+a"--]-a"-') (a-+ a'2+ x"''),

La première des équations précédentes s'accorde avec l'équation (8) du Chapitre VII (§ I). La seconde peut s'écrire ainsi qu'il suit

( {aoc'—a'ocy^ {a oi" — a" af -\- {a' a" ^- a" oi' Y

\ -iz {a"' -{- a''- -{- a"'-) {oC- -h a'^-i- y.'"-) — (aa-+a'a'+ a" y." Y,

et sous cette forme elle peut être employée avec avantage dans la théorie des rayons de courbure des courbes tracées sur des surfaces quelconques, ainsi que dans plusieurs questions de Mécanique.

Nous terminerons celte Note par la démonstration d'un théorème digne de remarque, auquel on se trouve conduit en comparant la moyenne géométrique entre plusieurs nombres avec leur moyenne arithmétique. Voici en quoi il consiste :

Théohjîme XVII. — La moyenne géométrique entre plusieurs nombres A, \\, C, I), ... est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.

Démonstration. — Soit n le nombre des lettres A, B, C, I), .... Il suffira de prouver qu'on a généralement

(35) v/ABCl)...<

ou, ce qui revient au même,

(36) ABCJ)...<^^ + ^-^^ + ^^-^---^"

Or, en premier lieu, on aura évidemment, pour « = 2,

et l'on en conclura, en prenant successivement /^=z4> /'=8, . . ., enfin n=:2'", . ABCD ^/A + BV/C + ny^/A-HB + C-^U

ABCDEFGH <

(37) ABCD. . . < (^+'L±|+"+--,:y-.

En second lieu, si n n'est pas un terme de la progression géométrique

on désignera par 2'" un terme de cette progression supérieure à n, et l'on

fera

Jv = — ;

puis, en revenant à la formule (37), et supposant dans le premier membre de cette formule les 2'" — n derniers facteurs égaux à K, on trouvera

ou, en d'autres termes,