ABC1)...K2'"-«<K
On aura donc par suite
ABCI). .<K» .A + B + C + n +
ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — On conclut généralement de la formule (36)
(38) A -h B + C -+- D + . . > « vABCl) . . . ,
quel que soit le nombre des lettres A, H, C, 1), .... Ainsi, par exemple,
j A+B> VAB,
, A-i-BM-C>3 v^ÂBC,
OEuvres de C. — S. II, t. III. 48
NOTE m.
SUR I.A RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS.
Résoudre numériquement une ou plusieurs équations, c'est trouver les valeurs en nombres des inconnues qu'elles renferment; ce qui exige évidemment que les constantes comprises dans les équa'lions dont il s'agit soient elles-mêmes réduites en nombres. Nous nous occuperons seulement ici des équations qui renferment une inconnue, et nous commence.rons par établir, à leur égard, les théorèmes suivants.
Théorème I. — Soit fi^oc) une fonction réelle de la variable x, qui demeure continue par rapport à cette variable entre les limites x ■=. x^, x zr: X. Si les deux quantités /(-Cq), /(X) sont de signes contraires, on pourra satisfaire à l'équation
par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x^ et\.
Démonstration. — Soit iCo la plus petite des deux quantités ^o- X. Faisons
et désignons par m un nombre entier quelconque supérieur à l'unité. Comme des deux quantités /(^o), /(X), l'une est positive, l'autre négative, si l'on forme la suite
et que, dans cette suite, on compare successivement le premier terme avec le second, le second avec le troisième, le troisième avec le quatrième, etc., on finira nécessairement par trouver une ou plusieurs fois deux termes consécutifs qui seront de signes contraires. Soient
deux termes de cette espèce, ^i étant la plus petite des deux valeurs correspondantes de a^. On aura évidemment
et
Ayant déterminé ^1 et X' comme on vient de le dire, on pourra de môme, entre ces deux nouvelles valeurs de x, en placer deux autres a;^, X" qui, substituées dans/(^), donnent des résultats de signes contraires, et qui soient propres à vérifier les conditions
X"--^,= -(X'-^,)=z -L(X-jro).
En continuant ainsi, on obtiendra : 1° une série de valeurs croissantes de x, savoir
( 2 ) Xq, x^, Xi,, • • • ;
2" une série de valeurs décroissantes
qui, surpassant les premières de quantités respectivement égales aux produits
ix(X— j?„), -—x{\ — xj, --x(X — ^„), ...,
finiront par différer de ces premières valeurs aussi peu que l'on voudra. On doit en conclure que les termes généraux des séries (2) et (3) convergeront vers une limite commune. Soit a cette limite. Puisque la fonction /(x) reste continue depuis x = x^ jusqu'à ^ = X, les termes généraux des séries
suivantes
f{x,), f{Xi), f{x,), ..., ,
convergeront également vers la limite commune /(«); et, comme en s'approchant de cette limite ils resteront toujours de signes contraires, il est clair
que la quantité /(a), nécessairement finie, ne pourra différer de zéro. Par conséquent on vérifiera l'équation
en attribuant à la variable jr la valeur particulière a comprise entre j^o et X. En d'autres termes,
(4) Ji-ziza
sera une racine de l'éciualion (i).
Scolie I. — Si, après avoir poussé les séries (2) et (3) jusqu'aux termes
x„ et X"')
(« désignant un nombre entier (|uelconque), on prend la demi-somme de ces deux termes pour valeur approchée de la racine «, l'erreur commise sera plus petite que leur demi-différence, savoir
I X-.ro
Comme cette dernière expression décroît indéfiniment à mesure que // augmente, il en résulte que, en calculant un nombre suffisant de termes des deux séries, on finira par obtenir de la racine a des valeurs aussi approchées (|ue l'or) voudra.
Scolie II. — S'il existe entre les limites ./o, X plusieurs racines réelles de l'équation (i), la méthode précédente en fera connaître une partie, et quelquefois même les fournira toutes. Alors on trouvera pour j\ et X', ou bien pour x^ et X", . . . plusieurs systèmes de valeurs cpii jouiront des mêmes propriétés.
Scolie m. — Si la fonction f{jc) est constamment croissante ou constamment décroissante depuis x^=^x^^ jusqu'à x-=z X, il n'existera entre ces limites qu'une seule valeur de x propre à vérifier l'équation (1).
Corollaire 1. — Si l'équation (1) n'a pas de racines réelles comprises entre les limites .370, X, les deux quantités
/(^^o), /(X) seront de même signe.
Corollaire IL — Si, dans l'énoncé du théorème I, on remplace la fonction fix) par
{h désignant une quantité constante), on obtiendra précisément le théorème IV du Chapitre II (§11). Dans la même hypothèse, en suivant hi méthode ci-dessus indiquée, on déterminera numériquement les racines de l'équation
comprises entre Xq et X.
Nota. — Lorsque l'équation (i) a plusieurs racines comprises entre x^, et X, en calculant les séries (2) et (3), on n'est pas toujours assuré d'obtenir la plus petite ou la plus grande des racines dont il s'agit. Mais on peut arriver à ce but en suivant une autre méthode dont M. Legendre a fait usage dans le Supplément à la Théorie des nombres. Cette seconde méthode se déduit immédiatement des deux théorèmes que je vais énoncer.
Théorème II. — Supposons, comme dans le théorème I, (jue la fonction f{x) reste continue depuis x = Xç^ Jusqu'à ^ = X (X étant supérieur à Xq), et désignons par o{x), x{x) deux fonctions auxiliaires, également continues dans l'intervalle dont il s'agit, mais de plus assujetties : i" à croître constamment avec X dans cet intervalle; 2" à fournir pour la différence
une expression variable qui, d'abord négative lorsqu'on attribue à x la valeur particulière Xq, demeure toujours égale {au signe près) à f{x). Si l'équation
a une ou plusieurs racines réelles comprises entre x^^ et X, les valeurs de x représentées par
et déduites les unes des autres par le moyen des formules
(7) ^^(-Pi) ^-z(-^o), ?('^2) = z(^'i). 9(^3) -"Xi-'^î),
composeront une série de quantités croissantes dont le terme général convergera vers la plus petite de ces racines. Si, au contraire, l'équation (i) n'a
pas de racines réelles comprises entre Xq et \, le terme général de la série (6) finira par surpasser X.
Démonstration. — Admettons en premier lieu que l'équation J\a;) =o ait une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites ^r^, X; et désignons par a la plus petite de ces racines. On vérifiera l'équation dont il s'agit ou, ce qui revient au même, la suivante
(i) cp{x)—-x^{x) = o,
en prenant x -— a; et l'on aura en conséquence
De plus, la fonction ■/^{■r) étant constamment croissante avec .r depuis xr=: Xq jusqu'à ^ nz X, et a surpassant x^^, l'on aura encore
En combinant les deux dernières formules avec la première des équations (7), savoir
on en conclura
et, par suite,
De même, en combinant les trois formules
dont la seconde se déduit immédiatement de la formule (9), on trouvera
cp(a)>a)(^2) et, par suite,
En continuant ainsi, on s'assurera que tous les termes de la série (6) sont inférieurs à la racine a. J'ajoute que ces différents termes composeront une suite de quantités croissantes; el, en effet, puisque la différence
est négative par hj'pothèse pour x - x,^, on aura
mais 7 ( o^u ) = cp ( .a?! ) ; donc
De plus, cTi étant compris entre x^ et a, aucune racine réelle de l'équation
ne se trouvera renfermée entre les limites x^, x^\ et par conséquent {voir le théorèrrie I, corollaire I)
seront des quantités de môme ^igne, c'est-à-dire toutes deux négatives. On aura donc
et, par suite, à cause de x(^i ) = ^{x=,^),
etc. Donc enfin les quantités
Xi^, X i , X-i, . . .
formeront une série dont le terme général x,,, croissant constamment avec n sans pouvoir jamais surpasser la racine a, convergera nécessairement vers une limite égale ou inférieure à cette racine. Nommons / cette limite. Comme, en vertu des équations (7), on a, quel que soit n,
9(ir„,.,) =:7(/r„),
on en conclura, en faisant croître n indéfiniment, et passant aux limites,
(i3) o{l) = yJJ).
La quantité /sera donc elle-même une racine de l'équation (1); et, puisque cette quantité sera plus grande que x^^, sans être supérieure à la racine a, on aura évidemment
Admettons, en second lieu, que l'équation (i) n'ait pas de racines réelles comprises entre- j^o et X. On prouvera encore dans celte hypothèse que le terme général x„ de la série (6) croît constamment avec n, du moins tant que ce terme reste inférieur à X. En effet, tant que celte condition sera remplie, la différence
sera (théorème I, corollaire 1) de môme signe que
c'est-à-dire négative et, par suite, on établira comme ci-dessus les formules (il), (i2), .... De plus, Xn ne pourra converger vers une limite fixe / inférieure à X, puisque l'existence de celle limite entraînerait évidemment l'équation (i3), et par suite l'existence d'une racine réelle comprise entre œç, et X. Donc il faudra nécessairement, dans l'hypothèse admise, que la valeur de jL-„ finisse par surpasser la limite X.
Corollaire I. — Les conditions auxquelles les fonctions auxiliaires o(^),
yX-J^) sont assujetties dans l'énoncé du théorème 11 peuvent être remplies
d'une infinité de manières. Mais, parmi le nombre infini des valeurs que l'on
peut attribuer à la fonction <^{x), il importe d'en choisir une qui permette
de résoudre facilement les équations (7), c'est-à-dire, en général, toute
équation de la forme
o{œ) iiz const.
La valeur de ^{x) étant choisie, comme on vient de le dire, on calculera sans peine les différents termes de la série (6), et il suffira de chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus petite des racines de l'équation (i) comprises entre o-q et X. Si ces mêmes termes finissent par surpasser X, l'équation (i) n'aura pas de racine réelle dans l'intervalle de x,, àX.
Corollaire 11. — Si l'on prend
3Cn
et si, de plus, l'équation (i) admet des racines positives, les quantités ûc,, ^2, . . . seront toutes inférieures à la plus petite racine de celte espèce, et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.
Théorème IlL — Supposons, comme dans le théorème /, que la fonction f{x) demeure continue depuis x z=i a'o jusqu'à j? =r X (X étant supérieur à x^^), et
désignons par o{x), y^{x) deux fonctions auxiliaires également continues dans l'intervalle dont il s'agit, mais de plus assujetties : \° à croître constamment avec X dans cet intervalle; 2" à fournir pour la différence
une expression variable qui devienne positive lorsqu'on attribue à x la valeur particulière X, et demeure toujours égale, au signe près, à f{x). Si l'équation
a une ou plusieurs racines réelles comprises entre Xq et X, les valeurs de x représentées par
et déduites les unes des autres par le moyen des formules
composeront une série de quantités décroissantes dont le terme général convergera vers la plus grande de ces racines. Si au contraire l'équation (i) n'a pas de racines réelles comprises entre Xq et X, le terme général de la. série (i5) Jinira par s'abaisser au-dessous de x^.
La démonstration de ce troisième théorème est tellement semblable à celle du second que, pour abréger, nous nous dispenserons de la rapporter
Corollaire I. — Parmi le nombre infini de valeurs qu'on peut attiibuer à la l'onction o(js) de manière à remplir les conditions exigées, il importe d'en choisir une qui permette de résoudre facilement les équations (16), c'està-dire, en général, toute équation de la forme
o(j:) = const.
La valeur de 9(-r) étant choisie comme on vient de le dire, on calculera sans peine les différents termes de la série (i5), et il suffira de chercher la limile vers la(iuelle ils convergent pour obtenir la plus grande des racines de l'équation (i) comprises entre x^ et X. Si ces mêmes termes finissent par s'abaisser au-dessous de j^q» l'équation (i) n'aura pas de racine réelle dans l'intervalle de ^0 î> ^•
OEufrcs de C. — i.n, V.\\\. ^9
Corollaire II. — Si, l'équation (i) ayant des racines positives, X surpasse la plus grande racine de cette espèce, les quantités X', X", ... resteront toutes supérieures à celte même racine et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.
Scolie I. — Si l'équation (i) n'a qu'une seule racine réelle a comprise entre x^^ et X, les termes généraux des séries (6) et (j5), dont la première est croissante et la seconde décroissante, convergeront vers une limite commune égale à cette racine. Alors, si l'on prolonge ces séries jusqn'aux termes
•X ,1 ei ^v ,
puis que l'on prenne la demi-somme de ces deux termes pour valeur approchée de la racine a, l'erreur commise sera plus petite que
Scolie II. — l*our montrer une application des principes que nous venons d'établir, considérons en particulier l'équation
fn désignant un nombre entier quelconque, et
A], Aj, . . •, A„j i, A„i ■ •
des quantités positives ou nulles. Comme le premier membre de celte équation est négatif pour o^ r=o et positif pour de très grandes valeurs de x, il en résulte qu'elle a au moins une racine positive et finie. De plus, celle même équation, ne différant pas de la suivante
A^ Aj! ^ , A,„-i A^ j
dont le second membre reste invariable, tandis que le premier décroît constamment pour des valeurs positives et croissantes de x, n'admettra évidemment qu'une seule racine réelle et positive. Soient a cette racine et A le plus
grand des nombres
■Al, Ao, ...» A,„|, A,„;
enfin, désignons à l'ordinaire une moyenne entre ces nombres par la notation
NOTK m. 387
On tirera de l'équaLion (17), en y faisanl x--a, puis ayant égard à la formule (11) des Préliminaires,
— (a'"-'+a'"-2 4-...+ a + i)M(Ai, A2, • • ., A„,i, A,„) M(A,, A2, . . ., A,„i, A„J < A
el, par suite,
Par conséquent la uacine positive de l'équation (17) sera comprise entre les limites o et A + i. D'un autre côté, comme, en désignant par
A,, a'"-'' et \sfi"'-'
le plus petit et le plus grand des termes Yenfermés dans le polynôme
Al a'"-' +- A, «'"-' + . . . + A,„ia-j- A„,,
et par «~m le nombre de ceux qui diffèrent de zéro, on aura évidemment
a'"> nA,.a"'-'\
a"'< /<A,a'"-* et, par suite,
a<{nAsY,
il est clair que la racine a sera comprise entre le plus petit et le plus grand
des nombres
(•9) /ïA,, in\,y, {n\,y, ,.., («A,„)'«.
Knfm, puisque, en vertu du tbéorème I (corollaire I), le premier membre de l'équation (17) restera négatif depuis ^ =: o jusqu'à x-=za, et positif depuis j7 = a jusqu'à ^ tzr 00, il en résulte qu'on pourra cboisir encore pour limite inférieure de la racine a le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l'expression
( 20 ) x'^ — Al x"'-^ — A2 .2^'"-- — ... — A,„.. 1 X — A,„,
et pour limite supérieure le plus petit de ceux qui la rendent positive. Soient mainlenant
les deux limiles inférieure et supérieure calculées d'après l'une des règles que nous venons d'indiquer. Si l'on fait, en outre,
(21) o(j7) = j7'", yj^)— A,j;'«-* + A,J7'«-2 + .. .H- A,„,^ + A,„,
les théorèmes II et III seront applicables à l'équation (17); et comme, dans cette hypothèse, chacune des équations (7) ou (16) se trouvera réduilo à la
forme
x"^=i const.,
il deviendra facile de calculer les quantités comprises dans les deux séries
dont les termes généraux seront les valeurs approchées en plus et en moins de la racine a.
Scolie III. — Considérons encore l'équation
(22) .r"' + Ai.r'"-' + A,.'r"'-2-[-. . . + A,„,^ — A,„=:o, m désignant toujours un nombre entier, et
des quantités positives ou nulles, dont la plus grande soit égale à A. En prenant — pour inconnue, on pourra présenter cette équation sous la forme sui-
vante
(23) (}X __^^^!i^(lX~' -^^^^^{-X'"' - --^ - - — = 0, •
qui est pareille à celle de l'équation (17). On en conclura que l'équation (22) admet une seule racine positive inférieure au quotient
et que cette racine est comprise, non seulement entre la plus petite et la plus grande des quantités
«A,„,' \nÂ,„-2j ' \/iA„,:j/ ' ' \/^Âi/ ' \ n J '
n^m représentant le nombre des termes variables renfermés dans le premier membre de l'équation (22), mais aussi entre le plus grand des nombres entiers qui rendent négative l'expression
(26) :r'«+ A,^'«-*-+- A,jr'«-- + . . . + A;„l,^ — A„,,
et le plus petit de ceux qui la rendent positive. Après avoir fixé, d'après ces remarques, deux limites en plus et en moins de la racine en question, il suffira, pour en approcher davantage, d'appliquer les théorèmes II et III à
l'équation (23), en y regardant — comme l'inconnue qu'il s'agit de déterminer.
Scolie IV. — Si l'équation (i) avait deux racines réelles comprises entre jl\^ et X, mais extrêmement rapprochées l'une de l'autre, les termes généraux des séries (6) et (i5) paraîtraient au premier abord converger vers la môme limite, et l'on pourrait prolonger longtemps les deux séries avant de s'apercevoir de la différence entre les limites vers lesquelles ils convergent effectivement. La même remarque est applicable aux séries (2) et (3). Par conséquent les méthodes de résolution fondées uniquement sur le théorème I ou bien sur les théorèmes II et III ne sont pas propres à faire connaître, dans tous les cas, le nombre des racines réelles d'une équation numérique: mais elles fourniront toujours des valeurs aussi approchées que l'on voudra de toute racine réelle qui se trouvera seule comprise entre deux limites données.
Dans le cas particulier oi^i l'équation numérique que l'on considère a pour premier membre une fonction réelle et entière de la variable x, on peut tout à la fois, ainsi que M. Lagrange l'a fait voir, déterminer le nombre des racines réelles et calculer leurs valeurs approchées. Pour atteindre facilement ce but, il convient de réduire d'abord l'équation proposée à n'avoir que des racines inégales, en opérant comme il suit.
Soit
l'équation donnée. Désignons pur a, b, c, . . . ses diverses racines réelles ou
imaginaires, et par m le degré de son premier membre, dans lequel nous supposerons le coefficient de la plus haute puissance de x réduit à l'unité. Enfin, soient m' le nombre des racines égales à a, m" le nombre des racines égales à h, ni" le nombre des racines égales à c, .... On aura
(28) ni -h m"^ m" -+- . . .z= ni
et
(•>.g) ¥{.x) = {cc — a)'"' {jr — b)'"" {x — c)'"'
On en conclura, en désignant par z une nouvelle variable,
Si mainlenani on fait
et que l'on développe les expressions
suivant les puissances ascendantes de -s, l'équation (3o) deviendra
^ ' ni'
I ^ r 3 + . . . Il I -+-
x — b ni
puis, en égalant de part et d'autre les coefficients de la première puissance de z, on trouvera
/ F,(j-) ni m" nf
r.ommc la formule précédente a pour dernier membre une fraction algébrique évidemment irréductible, il en résulte (ju'il suffit de diviser le pre-
NOTE m. 39!
mier membre F{x) de l'équation (27) par le pliis grand commun diviseur, des deux polynômes F(^), ¥i{a:) pour ramener celte équation à la suivante
qui n'a plus que des racines inégales.
Nous ne nous arrêterons pas à faire voir comment on pourrait déduire des mômes principes diverses équations dont les racines, toutes inégales entre elles, seraient équivalentes, tantôt aux racines simples, tantôt aux racines doubles, tantôt aux racines triples, etc. de la proposée. Nous ajouterons seulement ici quelques remarques relatives au cas où l'on suppose immédiatement toutes les racines de l'équalion (27) inégales entre elles. Chacun des nombres ru', m", m'", ... se réduisant alors à l'unité, on tire la formule (3:2)
( 34 ) Fi {a.-) z:=i {a; -' b) {jc — c) . . . + (x ~ a) {x — c) . . . -h (x — a) {.r — />)... + ...,
et, par suite,
Fi(a)i=(rt — b) {a — c) . . .^ h\{b)^{b-a){b^-^c)..., Fi(c) z=(c-a){c-b)..., ?
ftt I /n — \ i
(36) ¥,{a) F,{b) l\{c) . . .= {- i)'~-^{a - by {a - c)K . .{b ~ cy- . . . . .
Ainsi, dans l'hypothèse admise, le produit des carrés des différences enire les racines de l'équation (27) sera équivalent, abstraction faite du signe, au
[)roduit
et par conséquent au dernier terme de l'équation en z que fournit l'élimination de X entre les deux suivantes
de sorte que, en appelant H la valeur numérique de ce dernier terme, ou aura
(38) {a - by- {a - cy . . . (b ~ cy . . . = ±\l.
Dans la même hypothèse, les valeurs de Fi(«)> F,(^), ... données i)ar le> formules (35) n'étant jamais nulles, si l'on désigne par a une racine réelle de l'équation (27), il suffira d'attribuer au nombre a des valeurs très pelites pour
:}n-2 COL [{S D'ANALYSE.
(Iiio les dcu\ quantités
P{a -{- c(.)zzz a Fi ( a ) + aM'., ( a ) -I- . . . , ¥{a~oc)=—xF^{a)-hx'-F.,{a)—...
soient de signes contraires. De plus, si l'on représente par .z-o, X deux limites inférieure et supérieure entre lesquelles la seule racine réelle a se trouve comprise, en vertu du théorème I (corollaire I), F(X) sera de même signe (|ue F(a-+-a), F(^o) de môme signe que F((7 — a), et par suite les deux
(juantités
seront de signes contraires.
Lorsque l'équation (27) n'a pas de racines égales, ou qu'elle a été débarrassée de celles qu'elle pouvait avoir, il devient facile de déterminer pour cette équation, non seulenient deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles se trouvent renfermées, mais encore une suite de quantités qui, prises deux à deux, servent de limites respectives aux différentes racines de celte espèce, et enfin les valeurs aussi approchées que l'on voudra de ces mômes racines. C'est ce que nous allons établir, en résolvant l'un après l'autre les trois problèmes suivants.
Problème L — Déierminer deux limites entre lesquelles toutes les racines réelles de l'équation
se trouvent renfermées.
Solution. F(.x) étant par hypothèse un polynôme réel, du degré m par rapport à .r, et dans lequel la plus haute puissance de œ a pour coefficient l'unité, si l'on désigne les coefficients successifs des puissances inférieures |)ar
Cl les valeurs numériciues de ces mômes coefficients par
^»^1> *-l^ • • •! ^^/H— 1» -^ lin
on aura identiquement
'"^^ i z:zx'"±.k^X'>'-'zïzk^X"'-'--±...±\,n^^X±k,„.
Soit maintenant k un nombre supérieur à la racine positive unique de l'équation (17) (théorème III, scolie II). Le polynôme (20) sera positif toutes les fois qu'on supposera œ^k. Par suite, il suffira d'attribuer à x une valeur numérique plus grande que le nombre k, pour que la somme des valeurs numériques des termes
devienne inférieure à la valeur numérique de x"^. Il en résulte que le premier membre de l'équation (27) ne pourra jamais s'évanouir, tant que la valeur de .X sera située hors des limites
Donc toutes les racines positives ou négatives de l'équation (27) seront comprises entre ces mêmes limites.
Scolie I. — Le nombre k étant assujetti à la seule condition de surpasser la racine positive de l'équation (17), on peut le supposer égal soit à la plus grande des expressions (19), soit au plus petit des nombres entiers qui, substitués à la place de x dans le polynôme (20), donnent un résultat positif.
Scolie //. — On peut aisément s'assurer que le nombre k, déterminé comme on vient de le dire, est supérieur, non seulement aux valeurs numériques des racines réelles de l'équation (27), mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. En efFet, soit
x=i r(cost -h \J— i sini)
une semblable racine. On aura en même temps les deux équations réelles
{ it A^ /•'"-- cos( m — 2)t±. . .± A,jj irco^t±A,n = o,
( r"' sinmjÇ dr Al/-'"-! sin(m — i )^
( ± Aj/-'""- sîn(m — 2)^±. . .±: Â,„ir sin^ =0;
et, en ajoutant la première équation multipliée par cosm^ à la seconde multipliée par sinmt, on en conclura
i /■'"± A,/'"-' cos^
( ± A2r'"--cos2^±. . .d= A,„,/-cos(w — i)t ±. \,„cosmt=zo.
Or il est clair qu'on ne saurait satisfaire à celte dernière équation en suppo-
OEiwresdeC. — S.U, t.lU. 5o
sanl /' > A, puisque dans cette hypothèse la valeur numérique de /'" surpasse la somme des valeurs numériques des termes
et à plus forte raison la somme des valeurs numériques que ces mêmes termes acquièrent lorsqu'on les multiplie par des cosinus.
Scolie III. — En comparant avec le ])ol.ynômc (26) les premiers membres des équations (27) et (4o), on prouverait facilement que, si l'on désigne par g un nombre inférieur à la racine positive unique de l'équation (22), g sera une limite inférieure, non seulement aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de l'équation (27), mais encore aux modules de toutes les racines imaginaires. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on prend pour g la plus petite des expressions (25), ou le plus grand des nombres entiers qui, substitués à la place de a: dans le polynôme (26), donnent un résultat négatif. Le nombre g étant déterminé comme on vient de le dire, toutes les racines positives de l'équation (27) se trouveront comprises entre les limites
et les racines négatives de la même équation entre les limites
Scolie IV. — Lorsqu'on se propose seulement d'obtenir une limite inférieure à la plus petite des racines positives ou supérieure à la plus grande, on peut quelquefois y parvenir en s'appuyant sur le corollaire du théorème XVII (Note précédente). Supposons, en effet, que tous les termes du polynôme F(j7), à l'exception d'un seul, soient de même signe. L'équation (27) prendra la forme suivante :
I + As^i x'n-s-y + . . . -f- A,„, X -f- A„, = A,^"»-^
Soit maintenant n le nombre des termes qui dans le premier membre de l'équation (43) ne se réduisent pas à zéro, et
la moyenne géométrique entre ces termes, lî désignant la moyenne géométrique entre leurs coeflicients. En vertu du corollaire du théorème XVII (Note II), toute valeur réelle et positive de a: propre à vérifier l'équation pro-
posée, ou, ce qui revient au môme, à lui servir de racine, satisfera nécessairement à la condition
Assc'''-'^ riBxV-,
et, par conséquent, à l'une des deux suivantes
(A \ u. — in+s ^) •
savoir, à la première, si m — s surpasse [x, et à la seconde, dans le cas contraire. Il est bon d'observer que, si le nombre s s'évanouit, A.,- se réduira au coefficient de ^"*, c'est-à-dire à l'unité.
ScoUe V. — Il est encore facile d'obtenir deux limites, l'une inférieure, l'autre supérieure aux racines positives de l'équation (27), par la méthode que je vais indiquer. On observera d'abord que toute équation dont le premier membre n'offre qu'une variation de signe, c'est-à-dire toute équation qui se présente sous la forme
Ao^'" + Al ^'«-' + . . . — A„ j?'"-" — A„4-i œ"'-"-^ — ... — G
ou sous la suivante
— Ao>r'" — Al .r'"-* — . . . + A„^'"-" 4- A;,+i ^'«-«-1 -f. . . . =; o,
Ao, Al, ..., An, An+i, ... désignant des nombres quelconques, n'admet qu'une racine positive, évidemment égale à la seule valeur positive de .x pour laquelle la fraction
Ao.ï-"-4- Aia?"-* + A2^"~- + . . .
a..i(;^Ua„^.(^
qui croît sans cesse depuis ^ =0 jusqu'à a; = 00, puisse se réduire à l'unité. Par conséquent le premier membre d'une semblable équation aura le même signe que ses premiers ou ses derniers termes, suivant que la valeur de a; sera supérieure à la racine dont il s'agit, ou comprise entre zéro et cette même racine. Gela posé, concevons que, dans le polynôme (89), — Ago;^ soit le premier terme négatif après a;'", +A„^" le premier terme positif après — As^% -— A^a" le premier terme négatif après A,i^'% -hA,^,£Cw lo premier
terme positif après — A^^", . . ., en sorte que l'équation (27) devienne
a^'«4- Ai^'«-* + . . .
— A,, jc'"-' — A^+i ^'"-*-' — . . . + A„ ^'"-" + A„+i j?"'-«-i + . . .
— A^,^'"-'' — A^4-i J?'"-"-' — . . . + Aivs:"'-'" + A»,+i ^'«-'^'-1 + . . . ± A,„ — o .
On conclura des remarques précédentes, que toute valeur positive de a: propre à vérifier l'équation (27) doit être : 1° inférieure à la plus grande des racines positives des équations
2" supérieure à la plus petite de ces mômes racines, lorsque A,n est précédé du signe — , et, dans le cas contraire, à la plus petite des racines positives des équations de la forme
— AsJ^'"-' — A,4.i d;'"-'-' — . . . + A„ J;'"-" + A„+, jr;"'-n-l ^ ç,^
Quelquefois les deux conditions qu'on vient d'énoncer s'excluent mutuellement, et alors on peut affirmer que l'équation (27) n'a pas de racines positives.
Problème II. — Trouver le nombre des racines réelles de l'équation (27), avec une suite de quantités qui, prises deux à deux, servent de limites à ces mêmes racines.
Solution. — Nous supposerons l'équation (27) réduite à n'avoir que des racines inégales. Alors, si l'on désigne par k {yoir\Q problème précédent) une limite supérieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles, par h un nombre moindre que la plus petite différence entre ces racines, enfin par /il, ki, . . ., k,i d'autres nombres tellement choisis que, dans la suite
(46) — kj —kl, — k^, ..., — A-„, o, k,„ ..., k^, A-,, k,
la différence entre un terme et celui qui le précède soit toujours une quantité positive égale ou inférieure à A, il est clair que deux termes consécutifs de la suite (46) ne comprendront jamais entre eux plus d'une racine réelle. D'ailleurs, lorsqu'on substitue à la place de x dans le polynôme F(^) deux quan-
lités entre lesquelles une seule racine réelle au plus se trouve renfermée, les résultats obtenus sont de môme signe ou de signes contraires; pour parler autrement, la comparaison de ces deux résultats offre une permanence de signe, ou une variation de signe, suivant qu'il n'existe pas de racine réelle> ou qu'il en existe une entre les deux quantités dont il s'agit. Par conséquent, si l'on prend les termes de la suite (46) pour des valeurs successives de la variable x, et que l'on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme F(^), cette nouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l'équation (27) a de racines réelles, et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de x qui, substituées dans F(j?), donnent des résultats de signes contraires. Ainsi toute la difficulté consiste à trouver pour le nombre h une valeur convenable. On y parvient de la manière suivante.
Désignons par H la valeur numérique du dernier terme de l'équation en z que fournit l'élimination de x entre les formules (87). Le nombre H, ainsi qu'on l'a déjà remarqué, sera équivalent (abstraction faite du signe) au produit des carrés des différences entre les racines réelles ou imaginaires de
l'équation (27). Par suite H^ sera équivalent au produit des modules de ces
différences (le module de chaque différence réelle n'étant autre chose que sa valeur numérique). Cela posé, soient a, b deux racines distinctes de l'équation (27). Si ces deux racines sont réelles, chacune d'elles ayant alors une valeur numérique inférieure à k, la valeur numérique de leur différence, c'està-dire la différence ou la somme de leurs valeurs numériques, ne surpassera jamais ik. Si, au contraire, chacune de ces racines ou l'une d'elles seulement devient imaginaire, on pourra, en désignant par ri, r^ leurs modules, et par ^1, t^ deux arcs réels, supposer
a = /•i(cos^i4- v^— 1 sin/,),
b =■ i\{costi-\- s/— I s'int^), et l'on en déduira
a— b — /-, cos ti — î\ cos l-i + ( i\ sin t^ — ^2 sin ^2 ) V^~ ^ '
mod.(a — 6) = [(/•, cos^i— i\ cos ^2)- H- (/•, sin^, — r^ sin^2)"]^
= {r\ — 2/-, /•2C0s(^, — ^2) + '1]'<(''î + 2/"i /"a + l'IY-
On aura donc
mod. (a — 6) < /'i 4- z^, et, par suite,
(47) ' n\où. {a — b) <i'2k,
398 COU lis D'ANALYSE.
pourvu que le nombre k ait été choisi, comme dans le premier problème, de manière à surpasser, non seulement les valeurs numériques de toutes les racines réelles, mais encore les modules de toutes les racines imaginaires. On prouvera de même que chacune des différences
a [)our module un nombre inférieur à 2/:, et l'on en conclura que, si, après
• ,. ' 1 111 - I , , , rn(m — i ) avoir lorme tous les modules de celte espèce en nombre égal a 5
on met de côté l'un d'entre eux, par exemple le module de la différence a — ^, le produit de tous les autres sera un nombre inférieur à l'expression
Donc, si l'on multiplie cette expression par le module de la différence a — b,
on trouvera un résultat plus grand que le produit des modules de toutes les
différences, c'est-à-dire un résultat plus grand que H'^ . En d'autres termes, on aura
(2A) ^ " X mod. {a — b) > \V
ou, ce qui revient au môme,
(48) mod.(a — ^*)>-
in{ m — 1 ) {2k)~~^
Lorsque les racines a et 6 sont réelles, le module de la différence a — b se réduit à sa valeur numérique. Par conséquent on obtiendra un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines réelles de l'équation (27), si l'on pose
Scolie I. — Il serait facile de prouver que, si chacun des nombres A,, A.2, ..., A„, (problème 1) est entier, le nombre H le sera également. Par suite, dans celte hypothèse, le nombre H, qui ne peut s'évanouir tant que les raciries de l'équation (27) restent inégales entre elles, aura une valeur égale ou supérieure à l'unité. Cela posé, la formule (48) donnera
(^o) mod. (« - b) > ^(^i.
NOTE m. 399
et l'on en conclura que, pour obtenir un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines, il suffit de prendre
Scolie II. — Soit
l'équation en :; que fournit l'élimination de œ entre les formules (37). Si, par la méthode ci-dessus indiquée (problème I, scolie III), on détermine une limite G inférieure aux modules de toutes les racines réelles ou imaginaires de l'équation (52), on aura, en désignant toujours par a^ b, c, ... les
racines de l'équation (27),
mod. Fi (a) > G,
ou, ce qui revient au môme [voir les équations (35)],
mod. {a — b){a — c) . . .> G.
On en conclura
mod. (a — ^) >
mod. {a — 6') . . .
et, par suite,
(53) mod. (a — 6) >
