AO

puisque les différences

qui renferment la racine a combinée successivement avec toutes les autres, sont au nombre de m — i, ou, sil'on met de côté la différence a — 0, au nombre de m — i. Cela posé, il est clair que le nombre A satisfera encore aux conditions requises, si l'on prend

ScoUe III. ---Après avoir déterminé h par l'une des méthodes précédentes, on pourra choisir pour la suite des nombres

une progression arithmétique décroissante dont la différence soit égale ou inférieure à /«, en se bornant toutefois aux termes de cette progression qui

iOO COURS D'ANALYSE.

restent compris entre les limites o, k. De plus, si l'on désigne par ff {voir le problème I, scolie III) une limite inférieure aux valeurs numériques de toutes les racines réelles de l'équation (27), on pourra évidemment dans la suite (46) supprimer tous les termes positifs ou négatifs dont les valeurs numériques sont plus petites que g-, en écrivant à la place les deux seuls termes

rr L cr

La suite (46) étant modifiée comme on vient de le dire, on substituera successivement dans le polynôme F(.r) : 1° les termes négatifs de cette suite depuis — k jusqu'à — ff; 2° les termes positifs depuis +^ jusqu'à -+-k; et, toutes les fois que deux termes consécutifs de la première ou de la seconde espèce fourniront des résultats de signes contraires, on sera certain qu'une racine réelle, négative dans le premier cas, positive dans le second, est renfermée entre ces deux termes.

Scolie IV. — Lorsque, par un moyen quelconque, on a déterminé, pour l'équation (27), une valeur approchée en plus ou en moins de la racine réelle a, on peut dans un grand nombre de cas obtenir de la même racine une valeur approchée en sens contraire, et fixer deux limites, l'une plus grande que les racines réelles inférieures à a, l'autre plus petite que les racines réelles supérieures, en s'appuyant sur la proposition que je vais énoncer.

Représentons à l'ordinaire par

les coefficients des première^ deuxième, troisième, . . . puissances de z dans le développement de ^{x-\-z); par a, b, c, ... les diverses racines de l'équation (27), et par k un nombre supérieur à leurs modules. Supposons en outre que, la quantité E étant une valeur approchée de la racine réelle a, la diffé^ rence a -^ ^ et la quantité en déterminée par l'équation

(55) " = -pâI-)

soient assez petites, abstraction faite des signes, pour que, dans le polynôme

(56) F,(0 + M2=«)Fo.(0-^3(2a)^F3(O + 4(2a)^F4(0+---,

la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numériques de tous les autres. Enfin désignons par G un nombre inférieur à

l'excès de la première valeur numérique sur la somme dont il s'agit. On sera certain : i" que la racine réelle a se trouve seule comprise entre les limites

2° que la différence a — b ou b — a entre la racine a et une nouvelle racine réelle b ne peut surpasser

Pour démonlrei" la proposition précédente, nous observerons d'aljord que dans l'hypothèse admise le polynôme (56) étant de même signe que son premier terme, on pourra en dire autant a fortiori des deux polynômes

.g i -3Fi(?) + (2a)F,(^)-(2a)^F3(|) + (2arF,(|)-...,

qu'on obtient en développant les fractions

Y{l—ia) F(H+2a)

suivant les puissances ascendantes de a, et ayaut égard à l'équation (55). Par suite, les premiers termes des deux polynômes étant de signes contraires, il en sera de même des deux fractions et de leurs numérateurs

II y aura donc au moins une racine réelle de l'équation (27) entre les limites

J'ajoute qu'il n'y en aura qu'une; et, en effet, il est facile de voir que, si plusieurs racines réelles étaient renfermées entre ces limites, en désignant par a et b deux semblables racines prises à la suite l'une de l'autre, on trouverait pour les valeurs des expressions

deux quantités de signes contraires. Par conséquent l'équation

(59) Fi(.r)=:o

OEnvres de C. — S. H, t, III. 5l

aurait une racine réelle comprise entre a et b, laquelle serait de la forme

la quantité -: étant renfermée entre les limites — 2a, +2 a. Or c'est ce qu'on ne peut admettre; car, si l'on remplace dans la formule (3i) z par y + ^, et (|ue l'on développe le premier membre de cette formule ainsi modifiée suivant les puissances ascendantes de /, on en tirera

F(rf--}- j) -h jFi(^-i-3) 4-, . .

puis, iM\ égalant de part et d'autre les coefficients de la première puissance

de j,

(60) F,(^ + 2) = F,(.r) + 22F,(^) + 3c2F3(.r)4-43'Fi(.r) +.... Par suite, le développement de

(61) F,(^4-2) deviendra

et, comme dans le polynôme (56) la valeur numérique du premier terme siir- |)asse la somme des valeurs numériques de tous les autres, il en sera de même a fortiori An polynôme (62), tant que la valeur numérique de^ sera supposée inférieure à celle de 2 a. Il en résulte que, dans cette hypothèse, l'expression (61) ne saurait s'évanouir. Donc l'équation (Sg) n'a pas de racines réelles comprises entre les limites ^— 2a, ^ + 2a; et l'équation (27) n'en a qu'une entre ces limites. La racine dont il s'agit est nécessairement celle qui s'approche le plus de la quantité ^, et que nous avons désignée par a. D'autre

part, comme la fraction

écpiivalente au second des deux i)olynômes (58), est de même signe (luo le premier terme de ce polynôme, savoir

on doit en concdure ([ue

F(D et F(|4-2a)

sont deux quantités de signes contraires, et que la racine a se trouve resserrée entre les deux limites

Quant à la seconde partie de la proposition ci-dessus énoncée, elle est une conséquence immédiate du scolie II, puisque la quantité G restera évidemment inférieure, abstraction faite du signe, au polynôme (62), c'est-à-dire au développement de Fi(|-f-:;), tant que la valeur numérique de z ne surpassera pas celle de 2a, et par conséquent inférieure à la quantité Fi(a) ([u'on déduit de Fi(^ -1- z), en posant

Il suit d'ailleurs de cette seconde partie que les racines réelles plus grandes que a sont toutes supérieures à la liujite

et les racines réelles plus petites que a inférieures à la limite (64) a ^'

Pkoblèvie III. — Trouver les valeurs aussi approchées que l'on voudra des racines réelles de l'équation (27).

Solution. — On commencera par déterminer, à l'aide du problème précédent, deux limites, l'une en plus et l'autre en moins, de chaque racine réelle et positive. Supposons en particulier que la racine a soit de cette espèce, et désignons par Xq, X les deux limites inférieure et supérieure à cette racine. Si l'on forme deux sommes dilîérentes, la première avec les termes positifs du polynôme F (.3?), la seconde avec les termes négatifs pris en signe contraire, celle qui sera la plus petite pour jc^^Xq deviendra la plus grande pour x = X. Représentez cette somme par o{x) et l'autre par x(.t). Les deux fonctions entières 9(x), y^{x) jouiront des propriétés énoncées dans les théorèmes II et III; et, par suite, si la fonction (p(^) est telle qu'on puisse facilement résoudre les équations de la forme

(!^{x') -=■ const., les formules (7) et (16) fourniront immédiatement des valeurs de plus en

kOk COURS D'ANALYSE.

plus ajiprochées de la racine a. C'est ce qui arrivera, par exemple, toutes les fois que la fonction 9(^7) se présentera sous la forme

B, C, D étant trois nombres entiers quelconques, et n un nombre entier égal ou inférieur à rn; puisqu'alors on obtiendra les termes successifs des séries (6) et (i5) par des extractions de racines du degré n. Si la fonction (p(x) n'est pas de la forme que nous venons d'indiquer, on pourra facilement l'y ramener, en ajoutant aux deux membres de l'équation

un polynôme entier ^{^c) dont tous les termes soient positifs. En effet, il est clair que les valeurs de o{jc) et de x("^)» modifiées par l'addition d'un semblable polynôme, conserveront toujours les mômes propriétés. On peut, au reste, attribuer au polynôme ^{j^) une infinité de valeurs différentes. Supposons, par exemple,

La valeur de (^{j^), modifiée par l'addition du polynôme ^{.x'), deviendra

si l'on suppose ou bien

si l'on suppose

t|/(j7) rr 3 J7-+ i2.r ;

etc. Il est bon de remarquer à ce sujet : i" qu'on peut toujours choisir la fonction entière 4'(-^) ^^ manière à obtenir l'unité pour le nombre B; 2" que, dans beaucoup de cas, l'un des nombres C, I) se' trouvera réduit à zéro.

Après avoir déterminé par la méthode précédente les racines réelles et positives de l'équation (27), il suffira évidemment pour oblenir ses racines négatives de chercher par la môme méthode les racines positives de l'équation

Scoiie. — Outre la méthode d'approximation que nous venons d'indicjuer, il en existe plusieurs autres, parmi lesquelles on doit remarquer celle de Newton. Elle suppose que l'on connaît déjà une valeur approchée ^ de la

NOTE III. m

racine que l'on cherche, et consiste à prendre pour correction de celte valeur la (luanlilé a déterminée par l'équation

(00) ^'^-FTÎIJ-

Toutefois, cette dernière méthode n'étant pas toujours applicable, il importe d'examiner dans quels cas on peut l'employer. Nous allons établir à ce sujet les propositions suivantes :

Théorème IV. — Supposons que, a désignant l'une quelconque des racine^ réelles positives ou négatives de l'équation (27), et | une valeur approchée de cette racine, on détermine a par le moyen de l'équation (55). Si a est assezpetit, abstraction faite du signe, pour que dans le polynôme (56) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numéri(]ues de tous les autres, alors, des deux quantités

la seconde sera plus approchée de a que la première.

Démonstration. — Nous avons déjà vu (problème II, scolie IV) (|ue, dans l'hypothèse admise, la racfne a se trouve seule renfermée entre les limites

Cela posé, si l'on prend

(66) ar=il-\- z,

z sera une quantité comprise entre les limites o, 2a, et propre à vérifier

l'équation

ou, ce qui revient au même, la suivante :

Si maintenant on fail, pour plus de commodité,

„ F,(|)+zF3(0+ ••

et que l'on ait égard à la formule (55), l'équation (67) deviendra (69) z ■= ce -\- qz'.

mi COURS D'ANALYSE.

On aura, par suite,

d'où il résulte que, en prenant ^-ha an lieu de B pour valeur approchée de a, on commettra une erreur égale, non plus à la valeur numérique de :;, mais à celle de r/z^. D'ailleurs, le polynôme (56) étant de môme signe que son premier terme Fi(£), les deux polynômes

■ ( F,(0 + 2(2«)F2(a + 2(2a)^F3(0+.-- = (>-4a7)Fi(H)» ^''^ i F,(H)-2(2a)F2(0-2(2a)cF3(|)-...= (i + 4«7)F.(H)

jouiront évidemment de la même propriété; ce qui exige que la valeur numérique de 2<xq, et a fortiori celle de c/:-, restent inférieures à |. On en conclura immédiatement que la valeur numérique de 7-^ est inférieure à celle de \z. Ainsi des deux erreurs que l'on commet en prenant

l et ^ + a

pour valeurs approchées de a, la seconde est plus petite que la moitié de la j)remière.

Scolie T. — Comme on tire de l'équalion (69)

I — qz I

et que la valeur numérique de qz est inférieure à |, on est assuré que la valeur de z restera toujours comprise entre les limites

Scolie //. — En résolvant l'équation (69) comme si la valeur de q était connue, on trouve

^V '^pv'i — ^<^q

Le radical \Ji.— [\<xq est ici atfecté d'un double signe. Mais, puisque la valeur de :; doit rester plus petite que celle de 2a, il est clair qu'on devra préférer le signe inférieur. On aura donc

i-H yi — 4a<7

NOTE m. kOl

Cela posé, si l'on nomme Ço, Q, deux limites dont l'une soit inférieure et l'autre supérieure à la quantité q déterminée par la formule (68), on conclura de l'équation (72) que la valeur exacte de z est comprise entre les deux expressions

i-\- s/i — ^ocço i + v'i — 4otQ

Par conséquent cette valeur renfermera tous les chiiTres décimaux communs aux deux expressions réduites en nombres.

Scolie ni. — Supposons que des deux quantités q^, Q la seconde ait la plus grande valeur numérique, et que cette valeur numérique soit inférieure à l'unité. Alors, si la différence a — '^^=.z est, abstraction faite du signe, plus petite qu'une unité décimale de l'ordre n, c'est-à-dire si l'on a

(74) val. num.s<( —

la différence

a — (^ 4- a) = qz'^

sera plus petite, abstraction faite du signe, qu'une unité décimale de l'ordre 2/«; en sorte qu'on trouvera

(75) val. num. (75^< ( —

Ainsi, en prenant ^ + a au lieu de ^ pour valeur approcbée de la racine a, on doublera le nombre des décimales exactes.

Si l'on supposait la valeur numérique de Q inférieure, non setdement à l'unité, mais encore à 0,1, on conclurait de la formule (74)

val. num. qz'^<. i —

\io

Plus généralement, si l'on suppose celle valeur numérique inférieure à ( — j > r désignant un nombre entier quelconque, la formule (74) entraînera la suivante

(76) val. num. 7^*< ( —

\io

Enfin, si la valeur de Q est supérieure à l'unilé, mais inférieure à (10)', on

trouvera

/ , \Zn-r

(77) val. num.<75'-< (^— j

Scolie IV. — L'erreur que l'on commet en prenant | + a pour valeur approchée de a, ou la valeur numérique du produit qz^, peut elle-même se calculer par approximation. En efl'et, si l'on a égard à l'équation (69), on

trouvera

q z-"--- q{oi + qz^Y= qa.'- + {2a)q^z'- -^ q'' z'.

Or, supposons la valeur numérique de 2a, par conséquent celle de z, inférieure à (— ) 5 et la valeur numérique de Q, par conséquent celle de 7,

inférieure à (10)=^'', n et /■ désignant deux nombres entiers. On aura évidemment

val. num. (2a)o^^-<