MO
et
val. num. ''l^^-'*<\~ )
J)e plus, si la valeur numérique de la fraction
est reconnue inférieure à (io)^% s désignant encore un nombre entier, on
pourra prendre
pour valeur approchée du terme qc/}, sans craindre une erreur plus considérable que
l»ar suite, si l'on choisit ^ -i- « — a^ î?^^ ' »" lieu de ^ + a, pour valeur
ai)prochée de la racine a, c'est-à-dire si l'on pose
l'erreur commise sur la racine n'affectera plus que les unités décimales de
, l'ordre marqué par le plus grand des trois nombres
in ± s, 3 /i =b 2 /•, lin±Sr.
Dans le cas particulier où la valeur numérique de Q est inférieure à ( — j > et celle de la fraction (78) à ( — ) ? la nouvelle erreur devient plus petite que
Il suffit donc alors de substituer le second membre de l'équation (79) à la quantité ^ pour tripler le nombre des chiffres décimaux exacts dans la valeur approchée de a. C'est ce qui arrive encore, à très peu près, quand le nombre n devient très considérable. Ces résultats sont conformes à ceux que M. Nicholson a obtenus dans un Ouvrage récemment publié à Londres, et qui a pour titre : Essay on insolation and évolution, etc.
Théorème V. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, concevons que le premier terme du polynôme (56), c' est-à-dire du polynôme qui représente le développement de Fi(^ + 2a), ait une valeur numérique supérieure, non seulement à la somme des valeurs numériques de tous les autres termes, mais encore au double de cette somme. Alors, si l'on désigne par |, une quantité comprise entre les limites
la seconde des deux quantités
^" ^' F.(^0 sera plus approchée de a que la première.
Démonstration. — Pour établir la proposition qu'on vient d'énoncer, il suffit de faire voir que la valeur numérique de la différence
est supérieure à celle de
ou, ce qui revient au même, que la fraction
OF.uvres de C. — S. II, t. 111. 52
a une valeur numérique inférieure à l'unité. Représentons par - cette même fraction. Il suffira de prouver que
V — u et v ■+- it, c'est-à-dire, en d'autres termes,
a — £, a — ti
sont deux expressions de même signe. Or, si l'on fait
(8i) a^-\-z et |,=:^ + ê,
5 et ê seront deux quantités de même signe comprises entre les limites o, 2a; et les expressions (8o), après le développement des fonctions
deviendront respectivement
Comme, dans chacun de ces derniers polynômes, le coefficient de F„(^) a une valeur numérique évidemment inférieure à celle de l'une des quantités
nz"-\ 2 «6"-*,
et par conséquent au double de la valeur numérique du produit
il est clair qu'ils seront l'un et l'autre de même signe que Fi(0, si '« condition énoncée dans le théorème V se trouve remplie. Donc, etc.
Scolie I. — Les erreurs commises, lorsqu'on prend successivement
h et I,-
pour valeurs approchées de la racine a, sont respectivement égales aux valeurs numériques des deux quantités
a — Il et a — li+jT^F)'
(^n trouvera d'ailleurs, en ayant égard aux formules (8i),
et
puis, en développant les fonctions F(^ + z), F(? + 6), F,(ç + 6),
f - ^^ °^ F,(?) + 2êF,(^) + 3ê^F3(0+---
Cela posé, concevons que, pour toutes les valeurs de ê et de z comprises entre o et 2a, la valeur numérique du polynôme
(84) F2(ç) + (3 + 2ê)F3(?) + (-^+2êG4-3g^)F,(ï) + ... reste inférieure à la limite M, et celle du i)olynôme
(85) Fi(?)-4-2SF,(|) + 3ê^F3(^)+...
supérieure à la limite N. Si l'on a
(86) val.num.(5 — ê)< ( ~
\io
et
(87) |<(ïo)^%
n et r désignant deux nombres entiers quelconques, on conclura de l'équation (83)
(88) va
Il est essentiel de remarquer que, pour obtenir des valeurs convenables de M et de N, il suffit : i" de remplacer dans le polynôme (84) 5 et ê par 2a, puis de calculer la somme des valeurs numériques de tous les termes; 2" de remplacer dans le polynôme (85) 6 par 2a, et de cbercber ensuite la différence entre la valeur numérique du premier terme et la somme des valeurs numériques de tous les aut^'es.
Scolie II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème V, si l'on fait successivement
(89) ^.-l-^^y ,.-E.-p^^-^, ^^-^^-FTôô' ■•"
les quantités |i, la» Is» • • • seront des valeurs de plus en plus approchées de la racine a. Si d'ailleurs on attribue aux nombres M et N les mêmes valeurs que dans le scolie I, alors, en supposant
on en conclura
val. num. (a — |) <
val. num. (a — çi) < f — 1 , val. num. {a — l,) < val. num. {a — l^) <
Ces dernières formules renferment la proposition énoncée par M. Fourier dans le Bulletir\ de la Société philomathicjue (livraison de mai 1818), relativement au nombre de décimales exactes que fournil à chaque opération nouvelle la méthode de Newton.
Toutes les fois que la fraction — est inférieure à l'unité, on peut prencfre
/•:=o, et par suite les différences successives entre la racine a et ses valeurs approchées
sont respectivement plus petites que les nombres
10/ \io/ \it>/ Vio
Donc alors le nombre des décimales exactes se trouve doublé pour le moins à chaque opération nouvelle.
Les recherches précédentes fournissent plusieurs méthodes de résolution pour les équations numériques. Afin de faire mieux sentir les avantages cjue présentent ces méthodes, je vais les appliquer aux deux équations
et
(91) ^^ — ja; + y z=:o
que Lagrange a choisies pour exemples {Résolution des équations numériques, Chap. IV), et dont la première a été plus anciennement traitée par Newton.
Si nous considérons d'abord l'équation (90), nous trouverons (théorème III, scolie II) qu'elle a une seule racine positive comprise entre les deux limites
- 1 et y/2.5 =r 2 ,ID. . . . De plus, la valeur positive de x propre à vérifier l'équation
2,27 + 5 = .z-' satisfera (problème I, scolie IV) à la condition
ou, ce qui revient au même, à la suivante :
La racine dont il s'agit sera donc renfermée entre les nombres 2,09 et 2,i5, ...; en sorte que sa valeur, approchée à moins d'un dixième près, sera 2,1. Pour obtenir une valeur plus exacte, nous observerons qu'on a dans le cas présent
Y{x)-= x^— IX — 5, Yi{x) ^=Zx^— 1, Y2{x)=iZx, F3(,2;)=:i,
et que, si l'on prend
la condition énoncée dans le théorème IV sera remplie. Cela posé, comme on tirera de l'équation (55)
5 + *c H a =::: 5^:^ — ^-^ — ^ =^ — o,oo543i878. . ., 6ç — 2 6
on trouvera pour les nouvelles valeurs approchées de l'inconnue x
et
£ + oc — çc2 p-A|Z ::^ ^ + a - «2 2^ = 2,094^3 15 . . . . Enfin, comme, la valeur exacte de x étant présentée sous la forme j? =;:^ + s.
z sera une quanlilé comprise entre les limites o, 20c, et que par suite on aura évidemment
F,(0- 11,23" '^'^''' val. num. z = val. num. (x-h qz^) < val. num. a -h (2a)- val. num. q < 0,01,
on en conclura (théorème IV, scolies III et IV) que, en prenant
on commet une erreur plus petite que 0,0001, et en prenant
une erreur plus petite que o,oooooi.
Au lieu d'employer les formules générales, on pourrait effectuer le calcul de la manière suivante. Après avoir trouvé 2,1 pour la valeur approchée de œ, on fera dans l'équation (90)
et l'on en tirera, en divisant tous les termes par le coefficient de z,
(92) 0,005431878. . . 4- ^ -f- 0,560997328. . . z^-\- 0,089047195. . . ^^= o ou, ce qui revient au même,
la valeur de q étant déterminée par la formule
Le double du premier terme de l'équation (92) est, à très peu près, 0,01 ; et, comme le premier membre de cette équation fournit deux résultats de signes contraires lorsqu'on y fait successivement
on peut affirmer qu'elle a une racine réelle comprise entre les limites o et — 0,01. Pour démontrer que cette racine est unique, il suffit d'observer que, en vertu de la formule (60), l'équation
Fi ( 2 , 1 -+- 5 ) = o
se réduit à
et que cette dernière ne saurait être vérifiée par aucune valeur de z renfermée entre les limites dont il s'agit. De plus, il est clair que, pour une semblable valeur de z, la quantité g déterminée par la formule (9^) reste comprise entre — o,56o et — o,56i; et, comme on tire de l'équation (98)
on en conclura : 1° en supposant — y = o,56o,
ZT=z — o,oo54485o. . ., 2° en supposant — q = o,56i,
^13: — o,oo544853. . . .
Par suite, la valeur réelle et positive de ^ propre à vérifier l'équation (90) sera comprise entre les limites
2,1 — o,oo54485o = 2,09455 1 5o et
Cette équation a donc une racine positive unique à très peu près égale à
Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'elle n'a point de racines négatives. Car, si elle en avait une seule, on pourrait satisfaire par une valeur positive de a^ à la formule
et cette valeur de œ (voir le scolie V du problème I) serait en même temps inférieure à la racine positive de l'équation
c'est-à-dire à
et supérieure à la racine de l'équation
c'est-à-dire à
ce qui est absurde.
Passons maintenant à l'équation (91), et cherchons en premier lieu ses racines positives. Pour avoir une limite supérieure aux racines de cette espèce, il suffira d'observer que, l'équation dont il s'agit pouvant se mettre sous la forme
on en tire (problème I, scolie IV), en supposant js positif,
2 sl'jx'^ <C. 'J oc •et, par suite,
On peut donc prendre j pour une valeur approchée de la plus grande racine positive. Cela posé, si l'on fait dans l'équation (91)
on trouvera
(97) o,o5 + c + 2,4o^--+- --^' = 0 ou, ce qui revient au môme,
la valeur de q étant déterminée par la formule
Le double du premier terme de l'équation (97) est 0,1; et, comme le premier membre de cette équation change de signe lorsqu'on passe de 5 = o à 5 = — o , I , tandis que le polynôme
