m i .2.6 . . .ni i .2 .S ... m

sont précisément les nombres figurés de l'ordre m. La suite de ces mêmes nombres ou la série (5) s'étend à l'infini. Son /i'"""^ terme, c'est-à-dire la fraction

est à la fois le coefficient numérique de x"-^ dans le développement de

(n-.r)-'"-', et le coefficient de x'"' dans le développement de {i -h x-)"-^'"-^. De plus, si dans la série (5) on fait successivement

m =z i, /?i r= 2, m =z 3, . . . , on obtiendra : i" la suite des nombres naturels ou figurés du premier ordre

2" la suite des nombres qu'on nomme triani^u/airès ou figurés du second

ordre, savoir

3" la suite des nombres qu'on appelle pyramidaux ou figurés du troisième

ordre, savoir

Si l'on écrit ces différentes suites au-dessus les unes des autres, en les faisant précéder par une première suite composée de termes tous égaux à l'unité, et plaçant, en outre, le premier terme de chacune d'elles sous le second terme de la suite immédiatement supérieure, on obtiendra le Tableau suivant :

Les nombres renfermés dans la (/< + i)u-me colonne verticale de ce Tableau sont les coefficients de la «'<■■"« puissance d'un binôme. Pascal, dans son Traité du triangle arithmétique, a donné le premier la loi de formation de ces mêmes nombres. Newton a fait voir ensuite comment la formule établie d'après cette loi peut être étendue à des puissances fractionnaires ou négatives.

Plusieurs propriétés remarquables des nombres figurés se déduisent immédiatement de la formule (4) du Chapitre IV (§ III). Concevons, par exemple, que, après avoir remplacé dans cette formule n par « - r, on y suppose

X —- m + ly

y — rn'-hi,

m, m' étant deux nombres entiers quelconques, on trouvera

{ m -{- m' -h -2) ( ni -Jr m' -^ 3) . . . ( m -h m' 4- n )

(w'-f- i) fm'-t- 2), . .{ni'-{- n — i)

puis, en faisant m' rro,

JJe même, si, après avoir remplacé dans la formule (4) (Chap. IV, § III) n par n — i, on fait en outre

x=im-\-i, j — — (//i'+i),

on en conclura