I . 2 . 3 . . . ( rt
Lorsque dans l'équation précédente on suppose m'=m, et en même temps 2, on trouve
{m -Ar \) . . .{m -\- n — \) m'-i-i (m + i) . . . (m H- « — 2)
m' 4- I {ni-^ i) . . .{m-\- n — ni' — i ) I 1.2.3. ..(/i — m' — i)
{m ^ \). . .{m -\- n — ni' — 2 ) 1 . 2 . 3 . . . ( n — m' — 2 )
■il)
Enfin, comme les équations (8) et (lo) peuvent s'écrire ainsi qu'il suit
ni' +1 (n — m' ) . . . { n -^ m — m' — i )
il est clair qu'elles entraîneront les deux propositions que je vais énoncer :
Théorèmk I. — Si, après avoir Jornié la suite des nombres figurés de l'ordre m, on ajoute les uns aux autres les n premiers termes de cette suite, on obtiendra pour somme le «"^""c nombre figuré de l'ordre m -{- 1.
Théorème 11. — Si l'on désigne par m, m' deux nombres entiers assujettis à
la condition
et que dans le développement de (t — j:)'"'+' on remplace les puissances successives de X par m' -r- 2 termes consécutifs pris dans la suite des nombres figurés de l'ordre m, on obtiendra un résultat égal à zéro.
Corollaire I. — Si l'on suppose que les différents termes de la suite
représentent successivement les nombres naturels, les nombres triangulaires et les nombres pyramidaux, on trouvera dans le premier cas
dans le second
(i5) «„ — 3rt„,-i- 3a„5— a„ .3 = 0,
et dans le troisième
(iG) a„~ 4<T'« -1 -T- 6a„î— 4««-3-l- ««-; — o.
La première des équations qui précèdent se confond avec la formule (3) du Chapitre XII (§1).
Corollaire II. — Si l'on désigne généralement par
(i3) «0» «1, a-2, ■•■, an, ■••
les nombres figurés de l'ordre m,
(17) «0, a,x, a.x^, ..., a,iX", ...
sera une série récurrente dont l'échelle de relation aura pour termes les quantités
c'est-à-dire les coefficients des puissances successives de x dans le développement de (i — j?)"'-^'. Ainsi, par exemple, la série
I, 3a}, 6jc-, ]ox^, . . . ,
dans laquelle les puissances successives de x ont pour coefficients les
nombres triangulaires, est récurrente, et son échelle de relation se compose des quantités
Parmi les propriétés principales des nombres figurés, on doit remarquer encore celles que présentent les équations (7) et (9), lorsqu'on leur donne les formes suivantes :
; n(n -+■ i). . .{n -Jr- m -h m') 1 . 2 . 3 . . . ( /w H- m' + j )
I n{n -h i) . . .{n -h m — m' — 2 ) i .2. '6. . .{ni — ni' — I)
(m' -\- \) . . .{ni' — // + 3 ) 1 . 2 . 3 ... /M
Ajoutons que, dans la suite des nombres figurés de l'ordre n, le (n -+- 1)'«""^ terme équivaut à la somme des carrés des coefficients que renferme la ,^ième puissance d'un binôme. En effet, si dans la formule (2) (Chap. IV, § III) on suppose à la fois xm^n, y .-n, on trouvera
{ --(Ty-f'^^]'--[^H^T-^(T)
Ul
