DES SERIES DOUBLES

Soient

Uq, «1, 1(2,

des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales, de telle manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de toutes ces quantités sera ce qu'on peut appeler une série double; et ces quantités elles-mêmes seront les différents termes de la série, qui aura pour terme général

,{m) '■Il >

m, n désignant deux nomhres entiers quelconques. Cela posé, concevons que l'on représente par

la somme des termes de la série (i) qui se trouvent compris dans le Tableau suivant

c'est-à-dire des termes qui portent à la fois un indice inférieur plus petit que n et un indice supérieur plus petit que m. Si la somme des termes restants, pris en tel ordre et en tel nombre que l'on voudra, devient infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de ni et de n, il est clair que la somme s\'"\ et toutes celles qu'on pourra en déduire en ajoutant à ^If" quelques-uns des termes exclus du Tableau (-2), convergeront, pour des valeurs

OEuvres de C. — S. II, t. III. 56

croissantes de ni et de n, vers une limite fixe s. Dans ce cas, on dira que là série (i) est convergente, et qu'elle a pour somme la limite s. Dans le cas contraire, la série (i) sera divergente, et n'aura plus de somme.

Lorsque les termes exclus du Tableau (2), étant ajoutés les uns aux autres en nombre arbitraire, ne donnent jamais, pour des valeurs infiniment grandes de m et de n, que des sommes infiniment petites, on peut en dire autant a fortiori de ceux d'entre les mômes termes qui appartiennent à une ou à plusieurs colonnes horizontales ou verticales du Tableau (i). 11 suit immédiatement de cette remarque que, si la série double comprise dans le Tableau (1) est convergente, chacune des séries simples comprises dans les colonnes horizontales ou verticales du même Tableau le sera pareillement. Désignons, dans cette hypothèse, par

le résultat qu'on obtient en ajoutant les sommes des ni premières séries horizontales du Tableau (i), c'est-^à-dire les m premiers termes de la série simple

(3) «0+ «1+ «, + • • •» «/o + //'i-t- «2 + . . ., ul-\- u[+ ul-\-. . .^ » •••••' > * . . . i ,

et par

le résultat qu'on obtient en ajoutant les sommes des n premières séries verticales, c'est-à-dire les n premiers termes de la série simple

(4) «0+ «0+ «o + - • •' «i-h «'1+ «î-h. . .» Ui-\- u^-\- iC-\-. . .,

f.{m) sera évidemment la limite de l'expression //J'-^ pour des valeurs croissantes de n, et s„ la limite de la môme expression pour des valeurs croissantes (le m. Par suite, il suffira de faire croître indéfiniment m dans s^"^'> et n dans A„ pour faire converger 5^'"' et s,i vers la limite s, On peut donc énoncer la proposition suivante :

TiiÉouÈME L — Supposons que la série double contptisc dans le Tableau (1) soit convergente : et désignons par s la somme de celte série. Les séries (3) et (4) seront également convergentes, et chacune d'elles aura encore pour somme la quantité s.

Concevons maintenant que les valeurs numériques des quantités comprises

dans le Tableau (i) soient respectivement désignées par

IPo? Pi» Pî' • • •> Po' Pi' P2' • • • '

' Po' P'i' P2'

Les termes du Tableau (i) qui se trouvent exclus du Tableau (2), étant ajoutés les uns aux autres en tel nombre que l'on voudra, fourniront évidemment une somme inférieure ou tout au plus égale (abstraction faite du signe) à la somme des termes correspondants du Tableau (5). Donc, si, pour des valeurs infiniment grandes des nombres m et n, cette dernière somme devient infiniment petite, il en sera de même a fortiori Aa la première; ce qu'on peut encore exprimer en disant que, si la série double comprise dans le Tableau (5) est convergente, la série (i) le sera pareillement. J'ajoute qu'on sera complètement assuré de la convergence de la série double comprise dans le Tableau (5), toutes les fois que, les séries borizonlales de ce Tableau étant convergentes, leurs sommes, savoir

(6) po4-piH-p2+. .., p'„ + p'i + p2 + .. ., p'o + p;+p2+. . .,

formeront elles-mêmes une série simple convergente. En effet, soit, dans cette hypothèse, £ un nombre aussi petit que l'on voudra. On pourra choisir m assez considérable pour que l'addition des sommes

Po ^ Pi ^ ?i -+-..., Po

et, par suite, celle des termes du Tableau (5) affectés d'un indice supérieur au moins égal à m, ne produise jamais un résultat plus grand que {t. De plus, le nombre m étant déterminé comme on vient de le dire, on pourra encore, puisque chacune des séries horizontales du Tableau (5) est convergente, choisir n assez considérable pour que chacune des sommes

Pn +P«+1 + P«+2 +••.,

soit égale ou inférieure à 1: auquel cas l'addition des termes qui, dans le

Tableau (5), portent un indice supérieur plus petit que m et un indice inférieur au moins égal à n, ne produira jamais un résultai plus grand que \z. Les deux conditions précédentes étant remplies, il est clair que, dans la série (5), les termes affectés d'un indice supérieur au moins égal à vi et d'un indice inférieur au moins égal à n ne pourront donner par leur addition mutuelle qu'une somme tout au plus égale à e. Donc celte somme deviendra infiniment petite, si l'on attribue aux nombres m et n des valeurs infiniment grandes, puisque alors il sera permis de faire décroître s au delà de toute limite assignable. J)onc l'hypolbèse admise entraîne la convergence de la série (5), et par suite celle de la série (i). En combinant ce principe avec le premier théorème, on en déduit une nouvelle proposition que je vais énoncer.

Théorème IL — Supposons que, toutes les séries horizontales du Tableau (i) étant convergentes, leurs sommes, savoir

(3) «o-h «1+ Mj-f-. . ., «0 -h «j + //',-+-.. ., «u 4- «'I + «2 + . . .,

forment encore une série convergente, et que cette double propriété des séries horizontales subsiste dans le cas même oii l'on remplace chaque terme du Tableau (i) par sa valeur numérique. Oh pourra dès lors affirmer : i° que toutes les séries verticales sont convergentes; i° que leurs sommes, savoir

(4) ao+ «0+ «0 + . . M Wi-H «1 + «î + - . ., u^-h u'.^-{- ul-\-. . .f

forment encore une série convergente; 3" enfin que la somme de la série (4) est précisément égale à celle de la série (3).

Corollaire 1. — Le théorème précédent subsiste lors même qu'on suppose (|uelques-unes des séries horizontales ou verticales composées d'un nombre Jini de termes. En effet, chaque série de celte espèce peut être considérée comme une série convergente indéfiniment prolongée, mais dans laquelle tous les termes dont le rang surpasse un nombre donné s'évanouissent.

Corollaire IL — Soient

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes les deux (juanlilés *, s\ et donl chacune reste convergente lors même qu'on réduit

NOTE VIL Uo

ses différents termes à leurs valeurs numériques. Si Ton forme le Tableau

"0^0> "l''0> "2<'0» "3<'0> Wo('l, '<l<'l, "2^1.

on reconnaîtra sans peine que les séries horizontales de ce Tableau jouissent des propriétés énoncées dans le théorème II, et que leurs sommes sont respectivement

('o-Ç, <'i^, ^2 S, rg.î,

Par suite, en vertu du théorème II et de son premier corollaire, les sommes des séries verticales, savoir

(lO)

formeront une nouvelle série convergente; et la somme de cette nouvelle série sera égale à celle de la série (g), c'est-à-dire évidemment au produit «'. On se trouve ainsi ramené par la considération des séries doubles au tbéorème VI du Chapitre VI (§ III).

Corollaire IH. — Si l'on appelle oc le sinus d'un arc compris entre les limites — -■> -\ — > et ^ sa tangente, on trouvera

Cela posé, puisque, en vertu de la formule (Sg) (Chap. IX, § II), on a, pour des valeurs numériques de z inférieures à l'unité,

arctang^

on en conclura, pour des valeurs numériques de a: inférieures à — :>

arc sin^ =:= arctangjp(i — j;^) ^

arcsinj;

ou, ce qui revient au même,

(]omme les séries horizontales comprises dans le second membre de l'équalion précédente remplissent évidemment les conditions énoncées dans le théorème II, tant que la variable x conserve une valeur jiumérique inférieure

à — j il en résulte que cette équation peut s'écrire ainsi qu'il suit :

arcsinj: -

De plus, si dans la formule (5) du Chapitre IV (§ III) on attribue à j la valeur négative — 2, et à ^ l'une des valeurs positives 3, 5, 7, . . ., on en tirera successivement

et par suite on trouvera définitivement

arc i\nx z- x -] h r -^ h j—x —

Il est facile de prouver, à l'aide du Calcul infinitésimal, que cette dernière équation subsiste non seulement, entre les limites x -mais aussi entre les limites ^ = — 1, ^ — + i.

SJi y/a

Corollaire IV. — En vertu de la formule (20) (Cliap. VI, § IV), on a, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — i et + i,

ou, ce qui revient au môme,

Comme les séries horizontales que comprend le second membre de l'équation précédente remplissent les conditions énoncées dans le théorème II, tant que la variable x conserve une valeur numérique inférieure à l'unité, il en résulte que cette équation peut s'écrire ainsi qu'il suit :

(i + xy^ — I X