IX "^ I

[x zzz — I, ^ =r + i).

Mais on a déjà trouvé (Chap. VI, § IV, problème I, corollaire II)

(iH- x)V-— I

l étant la caractéristique des logarithmes népériens. Les formules (i3) et

(l'i) devant s'accorder entre elles {voir le théorème VI du Chapitre VI, §IV), on en conclura, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — i

et -1-1,

1+ - Nir + H h

Il ) 1 1

'i. 6 II —

Dans ce qui précède, nous n'avons considéré d'autres séries douhles, convergentes ou divergentes, que celles dont les différents termes sont des quantités réelles. Mais ce qui a été dit à l'égard de ces séries peut également s'appliquer au cas où leurs termes deviennent imaginaires, pourvu qu'alors on écrive partout expression imaginaire au lieu de quantité, et module au lieu de valeur numérique. Ces modifications étant admises, les théorèmes I et II subsisteront encore. C'est ce que l'on démontrera sans peine, en s'appuyant sur le principe suivant :

Le module de la somme de plusieurs expressions imaginaires est toujours inférieur à la somme de leurs modules.

Pour établir ce même principe, il suffît d'observer que, si l'on fait

p(cosÔ-H v'^sinô) 4-p'(cos6'-t- y/— ^ sinô') -i-. . . = U(cosT -i- v^— I sinT),

p, p', , . ., R désignant des quantités positives, on en conclura

R2— (pcosO-4-p'cosQ' + .. .y-+ (psinî5-f-p'sinÔ'4-.. .)' = p2-hp'2 + ...+ 2pp'cos(î5 — 6')+...

<p-+p'2-f...-i-2pp'-}-.. .=:(p-hp' +. ..)'.

et, par suite,

SUR LES FORMULES QUI SERVENT A CONVERTIR LES SINUS OU COSINUS DES MULTIPLES D UN ARC EN POLYNOMES DONT LES DIFFÉRENTS TERMES ONT POUR FACTEURS LES PUISSANCES ASCENDANTES DU SINUS OU COSINUS DE CE MÊME ARC.

Les formules dont il est ici question sont celles que nous avons construites en résolvant les deux premiers problèmes énoncés dans le paragraphe V du Chapitre VII, et qui s'y trouvent affectées des numéros (3), (4), (5), (6), (9), (10), (11) et (12). Elles donnent lieu aux remarques suivantes.

D'abord, si, dans le calcul à l'aide duquel on établit les formules (3), (4), (5) et (6), on substitue aux équations (12) du Chapitre VII (§11) les équations (24) du Chapitre IX (§ II), on reconnaîtra immédiatement que les mêmes formules subsistent dans le cas où l'on remplace le nombre entier m par une quantité quelconque /ut, tant que l'on suppose la valeur numérique

de z inférieure à -y- Ainsi on aura, dans cette hypothèse,

ix.u. . „ (u. + 2)a,u(u. — 2) . , cosuc = I — *— ^ siii^^ H- -^ ^ !; ■- ?>u\*z

(f^-4-4)(p + 2)fX.^(|J.— 2)(f/— 4)

(u.4- 2) u.(fjL — 2) .

sm/jL:; — cos^ | |j. sm^ ^^ sitr^