z li. sin

i ^ (^-i-4)(/-^ + 2)/^( [a-2)(^- A) sin ' G - . . .1

I r (|UL + i)(|UL — 0 . ,

l cos,a:; =- coss i— ^^ -— sin-^

i ^ (fa-h3)(/^ + i)(fz-i)(fz-3) ^.^^^^ -j

(f/ + i) ix{ii — \) .

sinu.^ = u sm^ — ^^ -^-^ sm^^

i .2.3.4.0 OEiivres de C. — S. Il, t. III. 67

De plus, en verlu des principes établis dans le Chapili-e IX (§ II) et dans la Note précédente, on pourra développer, non seulement cos^xz et sin,a::, mais aussi les seconds membres des formules (i), (2), (3), (4), suivant les puissances ascendantes de /ul; et, comme les coefficients de ces puissances devront alors être les mêmes dans le premier et le second membre de cbaque formule, on obtiendra, en comparant deux à deux les coefficients dont il s'agit, une suite d'équations parmi lesquelles on distinguera celles que je vais écrire :

,^, I „ sin^c 9. sin'*^ 2.4 si n®-

1 si n^^ 1 .3 sin^ j

(6) z=^sinz H 5 \ y—, h

■JT

Nous supposerons toujours ici la variable z comprise enire les limites — -Ç ,

-4- --• Mais on démontre facilement à l'aide du Calcul infinitésimal que, sans

altérer les équations (i), (2), (3), (4), (5), (6), ..., on peut y faire croître

la valeur numérique de z jusqu a — Ajoutons que, en prenant sin:; =3 .r, on

fait coïncider l'équation (6) avec la formule (12) de la Note VII, et l'équaliou (5) avec la suivante :

(arc sinx)-= x^ + o ^ .r^ -^ -*- r,-— r- 4- . . . .

Cette dernière se trouve dans les Mélanges d' Analyse, publiés en 181 5 par M. de Stainville, répétiteur à l'École royale Polytechnique.

Concevons à présent que, dans les formules déjà citées du Chapitre Vil (§ V), on attribue à la variable z une valeur imaginaire. On conclura sans peine des principes développés dans le Chapitre IX (§ III), qu'elles ne cesseront pas d'être exactes. Supposons, par exemple,

z ^ y/— 1 Ix,

l étant la caractéristique des logarithmes népériens. Comme on aura, dans celte hypothèse,

coss=r -(e'^4-e-'^) -^\(.r -\- ^-A.

sin z -=i ^— -i ( e"^ - e-'^) =: ^-~-~ ix-~\ 1 2 \ X )

cl généralement {n désignant un nombre entier quelconque)

CGS/?; rr: - ( ^"H ], sin«::::=^ la;'

on tirera des équations (3), (4), (5), (6) (Chapitre VII, § V) : i" pour des valeurs |)aires de 7?^,

i {m -\~ [\) {m -t- i) m .în{m — 2 ) ( «? — 4 ) / '

X'"- JL ^ /^+ lU!^ (a-^l\ .- (z^±^W;!L:z^ , ^.

2" pour des valeurs impaires de m,

] , (;» + 3)(m + i)(m-i)(m-3) f^ iV . 1

I (m -f- 3) (/n + i) m(/?z — i) (/« — 3) / iV "]

Les formules (9), (lo), (11), (12) du paragraphe V (Chap. VII) fourniraient des résultats analogues.

Revenons maintenant à la formule (3) du même paragraphe. En vertu de cette formule, cosmc est, pour des valeurs paires de m, une fonction entière de sins, du degré m; et, comme cette fonction doit s'évanouir, ainsi que cosms, pour toutes les valeurs de z comprises dans la suite

( "' -- t)ri ^ ^ r. TT 3-71 ( /// — I ) 71

2 /H '2 111 inx 2 m 2 m 2 m

Vo2 COURS D'ANALYSE.

il est clair ([u'elle sera divisible par chacun des facteurs binômes

. (m — \)t. . . 3 TT . .71

sin V -4- sin -^^ ) ..., sin^-i-sin ? sin^ + sin — •>

2 m 2 m 2 ni

sui; — sin^ —) .... sin^ — siii ) siii;: — sin — »

2 ni 2 ni 1 m

et, par conséquent, égale au produit de tous ces facteurs binômes par le coefficient numérique de sin'"::, savoir

'^ (m ^ ni — -i). . .{m -\- '2)ni.ni{ni — -î). . .{m — ni-^ i) ^ 'j ,„ ,

^ \ .2.6 . . .{m — \) .ni

On aura donc, pour des valeurs paires de m.

Par des raisonnements semblables, on tirera des formules (4), (o) et (6) (Chap. VII, § V) : i" pour des valeurs paires de m,

/ • , 27: . „ \ / . , /iTT . , \ / . , (m — 2)71 . ., \

(i2) sinm- = 2'""' sine cos^ sin- sin^^ sin- ^wvz ... sin- sur-

^ ' \ 2/n J \ 2/11 J \ 2 ni /

2° pour des valeurs impaires de ni,

(i3) cos/«- = 2"'-* cosc sin^ sin"-3 sin- sm-^ • • • sin- sin-^

^ ' \ 2/n J \ 2/n J \ 2 ni

, ,. ■ , • / • ^ 271 . , \ f . , ^Tz . , \ /..,('« — Ot:

(i/j) sinm- = 2"'-' sin:; sm^ sin-:; sin- sui'z ... sin- sm--

^ ; \ 2 m / \ 2/rt J \ 2 m

Si dans les quatre équations qui précèdent on réduit la partie constante de chaque facteur binôme à l'unité, en écrivant, par exemple,

sin^2 ,. , . o Tï I au lieu de sm- sin-^,

sin-

les facteurs numériques des seconds membres deviendront évidemment égaux à ceux des termes qui, dans les formules (3), (4), (5), (6) du Chapitre VII (§ V), sont indépendants de sins ou renferment sa première puissance, c'est-à-dire à l'unité ou au nombre m. En consé(|uence, on trouvera :

NOTE VlII. i53

1° pour des valeurs paires de m,

, „, / siii-5 \ / sin^^ \ / sin^5 \

(l.)) COS/«G =: / I — -

„ TZ \\ .,371) I . , (m — 1)71 )

2/>i / \ im J \ ini J

. / sin'— \ / sin-^ \ / sin^^ \ , (lo) <,\nmz —in sin::cos^/ i \ / i t — \ * " ' / i ; ^ \ ?

%\\V ,/ \ sin^ — / \ sm-

ini / \ 1 m

2" pour des valeurs impaires de m,

/ sin'^^ \ / siii-:; \ / sin^s

(17) ces mz=:. cos Z I l \ / I ^—