TC^ I I I
^ " 4 ^ 76 "^ 36 "^ ■ ■ • • On aura par suite
Cette nouvelle formule s'accorde avec l'éciuation (27), qu'on peut déduire directement de la première fies équations (24) ou (26).
Avant de terminer celle Note, nous ferons remarquer que, pour établii- les huit formules (3), (4), (5), (6), (9), (10), (11) et (12) du Chapitre VU (§ V), il suffit de démontrer les ([uatre dernières, et qu'on y parvient très promptement en développant les équations (10) du Chapitre IX (§ I), savoir
( 3 1 ) I 4- c cos B + c- cos 2 (3 + G^ cos 39 + . (82) z sin Q ^ z"- sin 2(9 + ^^ sin 3 9-4-,
I — z cav^B
I — "iZ COSÔ -H :; sin9
I — 2Z cosB -+- Z~^
Considérons, par exemple, l'équation (32). On en tirera, pour des valeurs numériques de z inférieures à l'unité,
:: sin 9 +- z'- sin2Ô + z^ sin 3 9 +. . . + 5-" sin2/<9 -\- c^''^' sin(2« + 1)6/ + . . . __ I ;sin9
iz cos 6*
= sin9[;(i + x;^)-'+ iz'' coiB{i -\' z'-)-'- + ^z^ co%B{i ^ z'-y
= sin 9 rs — 5' 4- j'^ + . . . ±: :;2/î+i z^i, , ,
H- COS 0 ( 2 z^ — 4 3^ + . . . — 2 /< ^-" ±: . . . )
+ cos'=yi —
+ cos^9
p. 4-6 , Li.2.3''
OEiwies de C. — S. II, t. III.
ioS COUKS D'ANALYSE.
cl l'on liotivcra par suite, en égalant entre eux les coellicients des puissances semblables de z,
(33) ^iw-?. nB- (— i)"+'sin9 a/icos^J — ^ —-, cos='9 + . . . ,
(34) sin(?.// + 1)6 — (— 1)" sinô I ^cos-Ô4-... .
Si dans ces dernières forniules on remplace h \)\\v z, et 2/t ou 2/1 -i- i [)ai' m, on obtiendra précisément les équations (10) et (11) du Cbapitre VII (§ \ ). Les équations (9) et (12) du même paragrapbe se déduiraient, par un calcul semblable, de la formule (3i).
NOTE IX. i59
SUR LES TRODUITS COMPOSES D UN NOMBIU: IXFIM 1)K FACTEURS.
Désignons par
(1) «0, It^, «2, ■■■, lt,n ■■■
une suite infinie de termes positifs ou négatifs, dont chaciin soil supérieur à — I. Si les quantités
(/ étant la caractéristique des logarilhmes népériens), forment une série convergente dont la somme soit égale à s, le produit
convergera évidemment, pour des valeurs croissantes du nombre entier n, vers une limite finie et différente de zéro, équivalente à e". Si, au contraire, la série (2) est divergente, le produit (3) cessera de converger vers une limite finie différente de zéro. Dans le premier cas, on est convenu d'indiquer lu limite du produit que l'on considère, en écrivant le produit de ses premiers facteurs suivi de . . ., comme on le voit ici,
La môme notation [)eul être conservée dans le cas où cette limite s'évanouit. Pour que la série (2) soit convergente, il est d'abord nécessaire (jue, le nombre n venant à croître indéfiniment, cbacune des expressions
et, par suite, cbacune des quantités
(lovienne infiniment potile. Celle condilion élanl remi)lie, comme on a généra le me ni
/ytJi /ytO -jr*-^
on trouvera, pour des valeurs de n 1res considérables,
/( 1 + II,,) z= U„ — - hJ, + .^ Ul —...■= (la — - al (l ±1 £„),
(6) i II ,
=t £„, zt £„+i, . . . désignant encore des quantités infiniment petites; puis l'on en conclura, en représenlant par m un nombre entier quelconque, et par I ± £ une moyenne entre les facteurs i ± £„, i ± £,,+-1, . . . ,
/ l{\-\- (ln)+ l{l -+■ «„ + l) + - ..4-/(1 + H„ + m-l)
rzr U„~{- «„+H-. . .-+- «,H-/«~1— -(",1 + ««+! + • • •+ "L/»^i) (l± 0-
Concevons maintenant que, dans la formule précédente, on fasse croître le nombre m au delà de toute limite. Selon que cbaque membre de la formule convergera ou non vers une limite fixe, la série (2) sera convergente ou divergente. Cela posé, l'inspection seule du second membi-e suffira pour établir la proposition que je vais énoncer.
Théorème I. — Si la série (i) et la suivante
(8) «/,% ii\, ul, ..., u;„ ....
sont l'une et l'autre convergentes, la série (2) le sera pareillement, et par suite le produit (3) convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie différente de zéro. Mais, si, la série (i) étant convergente, la série (8) est divergente, le second membre de la formule (7) ayant alors pour limite l'infini négatif, le produit {"à) convergera nécessairement vers la limite zéro.
Corollaire 1. — Si la série (2) élanl convergente a tous ses termes positifs, ou si elle demeure convergente lors même qu'on réduit ses différents termes
à leurs valeurs numériques, on sera évidemmenl assuré de la convergence de la série (8); el, en conséquence, le produit (3) aura pour limite une quantité finie différente de zéro. C'est ce qui arrivera, par exemple, si le m-odiiit en question se réduit à l'un des suivants :
(i + O ( "- ri I ( i-t-à
Corollaire II. — Comme la série
est convergente, tandis que les carrés de ses différents termes, savoir
forment une série divergente, il résulte du théorème 1 que le produit
a zéro pour limite.
Corollaire III. — Le théorème I subsiste évidemment dans le cas même où parmi les premiers termes de la série (i) quehiucs-uns deviendraient inférieurs à —I. Seulement, lorsqu'on admet cette nouvelle hypothèse, on doit remplacer dans la série (2) les logarithmes des quantités négatives par les logarithmes de leurs valeurs numériques. Cela posé, il est clair que, pomdes valeurs croissantes de n, le produit
convergera, quel que soit x, vers une limite finie différente de zéro.
Corollaire IV. — Toutes les fois que la série (i) est convergente, le produit (3) converge, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie qui peut se réduire à zéro.
i62 COURS D'ANALYSE.
Lorsque la limite du produit (3) est finie, sans être nulle, on ne peut pas toujours assigner sa valeur exacte. Dans le petit nombre de produits de cette espèce auxquels correspond une limite connue, on doit distinguer le suivant
2 V V O- / \ Il
dont nous allons à présent nous occuper.
Quand, après avoir posé x:=-, on fait croître n indéfiniment, le produit (9) converge vers une limite finie représentée par la notation
Pour déterminer cette limite, il suffira de recourir à l'équation (16) ou (18) de la Note précédente. Considérons, pour fixer les idées, l'équation (16). Si
l'on y écrit partout — au lieu de -:, on trouvera, pour des valeurs paires de m,
(il) sin^:=/?zsin — cos
snr — m
ni m\ . , " / l . . 2 7ï / \ . , ( «i — 2 ) 7ï
- \ sin-
et, par suite (en supposant la valeur numérique de z inférieure à r,, et le nombre m égal ou supérieur à 2),
sm'— \ / sm-— \ / sin- —
T. ] \ 'XT, I \ .«(''' — 2)71
/« sin — COS — \ sin^ — / \ sin^ — / \ sin*
Soient d'ailleurs n un nombre entier inférieur à -m, i ■+ oc une quantité
moyenne entre les rapports
sin'
sin'- ^— ^ m
cl I -+- S Litie autre quantité moyenne entre les expressions
sin^ — \ / sin- —
( /i 4- 2) U / \ ( m — 2 ) TT
sin^ / \ sin^
sin''— \ / sjn- — \ / sin^ —
ni \ / m
,(«—1)71 / \ . , (/^ -f- 2)TC / \ . Jm — 2)r. Sin- / \ sin- / \sin-^
Le second membre de l'équation (12) sera évidemment la somme des deux, polynômes
sur — \ / sin-— \ / sin- —
Sin- — / \ sm^ — / \ sm^ —
/Il / \ /)i / \ m
sin- — \ / sin- — \ / sur —
sm
( /i -+- I ) 71 / l . , ( /i -H 2 ) TT / \ . ArJi — 2)r,
sin"- / \ sin^^- —/ \ sm^
dont le premier pourra être présenté sous la forme
[<-s-.)-<-ïJ^)----'('-„?^)](--)-
tandis que le second prendra celle du produit
m ] \ \ ni / I \ m / i V 2/?z , , , ^,
' 7: \M(/< H- I)- . ,(/i-hi)7r («-i-2)'^ . ,(rt + 2)7r ■■■ /m Y • »('" — 2)7:
ni I \ m m \ 2 / 2 ni
que l'on peut réduire (en vertu des principes établis dans la Note précédente) à
sin^ —
Cela posé, l'équalion (12) deviendra
sine
m sin — cos — m m
Slfl'' — 2 m m
n-TT'
et l'on en conclura, en faisant, pour abréger,
puis, revenant des logarithmes aux nombres,
