H'TZ
sin
l+T ^^'(l + Ô) MiO, 1)
m sin — cos — m m,
Supposons maintenant que, la valeur de n étant clioisie arbitrairement, on prenne pour \m le nombre entier immédiatement supérieur à n'' {a désignant un nombre fractionnaire ou irrationnel compris entre i et 2). Lorsque
la valeur de n deviendra très considérable, les quantités —■> — :? a, o, y, 0
seront infiniment petites, le produit
sin
m sin — cos — m m
■ z cos
différera très peu de z, et par suite le second membre de l'équation (i5) s'approchera indéfiniment de la limite
sin:;
Le premier membre devant converger vers la même limite, on aura nécessairement
S^TiV ■
sin
Celle dernière formule se trouve ainsi déinonlrée dans le cas où la valeur numérique de z reste inférieure à tt. Alors les quantités dont nous avons pris les logarithmes sont toutes positives. Mais la démonstration donnée suljsiste également pour des valeurs numériques de z supérieures à tt, lorsque l'on convient de remplacer le logarithme de chaque quantité négative parle logarithme de sa valeur numérique. En conséquence, l'équation (i6) demeure vraie, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable z. On ne doit pas même excepter le cas oiî l'on supposerait
z=±kr.,
k désignant un nombre entier quelconque, puisque, dans celte hypothèse, les deux membres de l'équation s'évanouiraient en même temps.
L'équation (i6), une fois établie, en fournira immédiatement plusieurs autres. Ainsi, par exemple, on en tirera, pour des valeurs réelles quelconques des variables a-, y, z,
(--=K'-i^)('-iJsï)('-3?^)-
( ==(-0(-0(-fJ(-^)(-f.)
et
sin.r œ T. — X -K -\- X iTi — X ir. + .T Stt — x Sti -h x
'-^Tr.
SI
Il y y t: — y Ti ^ y 211 — f 211 -i- y '6t: — y '6ti -h y
Tï
Si dans l'équation (17) on fait z=:z -, on trouvera
et par suite on obtiendra le développement de - en facteurs, découvert par le géomètre Wallis, savoir
2 i33oo779
On trouverait de même, en faisant z =z y,
