COS- = I

On pourrait déduire directement la même formule de l'équation (i5) ou (17) (Note précédente), en y remplaçant z par — > puis faisant converger le nombre m vers la limite 06. Observons enfin qu'on tirera de l'équation (16), en y supposant la valeur numérique de z inférieure à t.,

sin

- I I -t- — -h 7TT

Comme on a d'ailleurs, dans cette bypothèse,

sin:;

<ii

/ ^s in.

et, par suite (en vertu des principes établis dans le Chapitre VI et dans la Note Vil)

sin-3 I 23- I I "Tt^ z'* I I 9jz^

la comparaison des coefficients des puissances semblables de z dans les formules (22) et (24) donnera les équations

dont la première s'accorde avec la formule (28) de la Note VIII. Les facteurs

numériques 7;? -r-' t-' ••• Qui entrent dans les seconds membres de ces ^ 6 3o 42

équations sont ce qu'on appelle les nombres de Bevnoulll. Ajoutons que, si

l'on désigne par -xm un nombre pair quelconque, on aura généralement

^^"/ j — ' "^ 22/« "^ 32/» "^ f%in + • • • 2^'» \ "*" 2^'" ~^ 3^'" "*"'

Dans ce qui précède, nous avons seulement considéré des produits dont tous les facteurs étaient des quantités réelles, et des séries dont tous les termes étaient réels. Mais on doit remarquer : i" que, en vertu des principes établis dans le Chapitre IX \voir l'équation (37) du § II, et l'équation (26) du § III], la formule (5) subsiste dans le cas même où la variable x devient imaginaire, pourvu que son module reste inférieur à l'unité; 2° que le rapport

sin- z"- z'*

1.2.3 1.2.3.4.5 converge vers l'unité toutes les fois que la valeur réelle ou imaginaire attri-

buée à la variable z s'approche indéfiniment de zéro; 3° enfin que les équations (i5), (i6), (17) et (18) de la Note VIII subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de z. En partant de ces remarques, on parviendra bientôt à reconnaître comment on doit modifier les propositions et les formules ci-dessus démontrées dans le cas où les expressions

uç>, "i, «2. ■'-, ^, y, ^

deviennent imaginaires. Ainsi, par exemple, on établira sans peine, à l'aide des formules (6), la proposition suivante, analogue au corollaire I du théorème I :

Théorème II. — Supposons que la série (i), étant imaginaire, demeure convergente quand on réduit ses différents termes à leurs modules respectifs. Le produit (3) convergera nécessairement, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie réelle ou imaginaire.

De plus, on prouvera facilement que les équations (17) et (21) subsistent, lorsqu'on attribue à z une valeur imaginaire quelconque u -+- v \J— i ; d'oiî il résuite : \° qu'on peut exprimer par des produits composés d'un nombre infini de facteurs les expressions imaginaires

/ aV x o-V

l sin u 4- y/ — I

cosa,

cos u — \i — I ~ sm w,

et les carrés de leurs modules, savoir

Sin2« + f- jCOS^/=:^ ^ C0S2W,

cos-« -h I sin' M = h cos2«<;

2" que les expressions

arctang(^^^^^,,cotaJ, arctang(^^~^,,tanga

NOTE IX. i69

sont respectivement égales aux deux sommes

arctang arctang-- -+- arc tang

— arc tans h arc tanj?

2 7Î — a 2 TT -i- ff

arclang ■ arc tans:-— +arctanff

TC -\~ 2 11 '^ 'ir. — 2U

arc tan^Ts 1- arc tanir^ h. . .,

ÔT^ -\- 2U 07r-t-2W

augmentées ou diminuées d'un multiple de la circonférence 2-. D'autre part, comme les expressions (29) et les sommes (3o) sont des fonctions continues de (' qui s'évanouissent toujours avec cette variable, on peut assurer que le multiple dont nous venons de parler se réduit à zéro. Si l'on suppose en particulier u -=^0, on trouvera

2 \ ÎT / V 2-T.-J \ O-T.

2 V TtW \ ^T? I V 5-7:

On trouvera encore, en prenant u=i y.

arctang— — — -- := arc lang arctang-^—

-t- arc tang -z arc lang —

JTT HT.

el, en prenant a = r,

e-^+e-S" / 2'*v'*\/ 2'u-'*\ / 2'*v'* ■ i- COS 2 (' = { l-\ I -h- ~ — r I -f-