PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE III

On déterminerait par un procédé analogue les valeurs des autres inconnues y, z, . . . , u, ç.

Lorsque, dans les équations (i), on substitue aux constantes

les puissances entières successives d'une même quantité k, savoir

la valeur trouvée pour x se réduit à

§ II. — Des fonctions alternées.

Une fonction alternée de plusieurs quantités est celle qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu'on échange deux de ces quantités entre elles; en sorte que, par une suite de semblables échanges, la fonction devienne alternativement positive et négative. D'après cette définition,

^— 7, xy'^ — oc^y, L( — U sin^ — siny,

sont des fonctions alternées des deux variables x et j;

est une fonction alternée des trois variables x, y, z, et ainsi de suite. Parmi les fonctions alternées de plusieurs variables

on doit distinguer celles qui sont rationnelles et entières par rapport à chacune de ces mêmes variables. Supposons une semblable fonction

OEucresde C. — S. U, t. \\\. lO

développée et mise sous la forme d'un polynôme. Un de ses termes, pris au hasard, sera de la forme

p, q, r, . . ., s, t désignant des nombres entiers, et k un coefficient quelconque. De plus, la fonction devant changer de signe, mais conserver au signe près la même valeur, après l'échange mutuel des deux variables x et j, il faudra de toute nécessité qu'au terme dont il s'agit corresponde un autre terme de signe contraire

déduit du premier en vertu de cet échange. La fonction se composera donc de termes alternativement positifs et négatifs, qui, réunis deux à deux, produiront des binômes de la forme

kxPyiz''. . .u^v^— kx'iyPz''. . .aU'^=: k{x''y'i — x'i yP)z^' . . .uU>K

Dans chaque binôme de cette espèce, p, q seront nécessairement deux nombres entiers distincts l'un de l'autre, et, comme la différence

xPyi — xiyP

est évidemment divisible par y — x ou, ce qui revient au même, par x—y, il en résulte que chaque binôme, et par suite la somme des binômes ou la fonction proposée, sera divisible par

Comme on peut d'ailleurs, dans les raisonnements qui précèdent, substituer aux variables x, y deux autres variables quelconques oc ai z ou y et -, . . . , on obtiendra définitivement les conclusions suivantes : i" Une fonction alternée, mais entière, de plusieurs variables a?, j, z, . . . , Uy V, est composée de termes alternativement positifs et négatifs, dans chacun desquels les diverses variables ont toutes des exposants différents;