PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE III

2*^ Une semblable fonction est divisible par le produit des différences

t{j — x), ±{z--œ), ..., ±{u — or;), ±{v — a;),

prises chacune avec tel signe que l'on voudra.

Le produit dont il est ici question, ainsi qu'on peut aisément le reconnaître, est lui-même une fonction alternée des variables que Ton considère. Pour le prouver, il suffît de faire voir que ce produit change de signe, en conservant au signe près la même valeur, après l'échange mutuel de deux variables, x et y par exemple. Or, en effet, suivant que l'on adopte pour chaque différence le signe -f- ou le. signe —, ce produit se trouve égal soit à + cp, soit à — 9, la valeur de 9 étant déterminée par l'équation

et, comme il est évident que cette valeur de 9 change seulement de signe en vertu de l'échange mutuel des variables x et y, on peut conclure qu'il en sera de même d'une fonction équivalente soit à -+- o, soit à — 9.

Concevons, pour fixer les idées, que l'on prenne chacune des différences (i) avec le signe -t-. Le produit de toutes ces différences sera la fonction 9 déterminée par l'équation (2) ou, ce qui revient au même, par la suivante

(3) o = {y — a^)xiz — a'){z-y)x...x{v — a:){v~y){s-—z)...(v~u).

Si, de plus, on appelle n le nombre des variables x, y, z-, . . . , u, r, ' n — i sera évidemment le nombre des différences qui renferment une même variable : et par suite, dans chaciue terme de la fonction o développée et mise sous la forme d'un polynôme, l'exposant d'une variable

cfuciconque ne pourra surpasser n — i. Enfin, comme dans un même terme les diiïérentes variables devront être affectées d'exposants différents, il est clair que ces exposants seront respectivement égaux

aux nombres

Chaque terme, abstraction faite du signe et du coefficient numérique, sera donc équivalent au produit des diverses variables rangées dans un ordre quelconque, et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres o, i, 2, 3, ..., n — i. On doit ajouter que chaque produit de cette espèce se trouvera compris une seule fois, tantôt avec le signe +, tantôt avec le signe —, dans le développement de la fonction ç. Par exemple, le produit

ne pourra être formé que par la multiplication des premières lettres des facteurs binômes qui composent le second membre de l'équation (3).

A l'aide des principes que nous venons d'établir, il est facile de construire en entier le développement de la fonction tp, et de démontrer ses diverses propriétés (^voir à ce sujet la Note IV). Nous allons maintenant faire voir comment on se trouve conduit, par la considération d'un semblable développement, à la résolution des équations générales du premier degré à plusieurs variables.

Soient '

UqX

-rKy

-HCo-

Ay,

+ Ci5

a^-ix 4- ba-iy 4- C„i Z+... + gn-i II -+- hn-i V = kn-x

n équations linéaires entre les n variables ou inconnues

Xf y y Zf • • ' y 1^1 *'>