PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE III

et les constantes

bç>,

bu

Cl,

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""/i— 1> "rt-l> l^n—ly

choisies arbitrairement. Représentons, en outre, par P ce que devient la fonction ^ lorsqu'on y remplace les variables

•^> y > •^j • • • ) ^^> '^' par les lettres

a, b, c, ..., ff, h considérées comme autant de nouvelles quantités, en sorte qu'on ait

(5) P = {b — a)x{c-a){c-b)x...x{h — a){h — b){k-c)...{h-ff).

Le produit P sera la fonction alternée la plus simple des quantités a, b, c, ..., g, h; et, si l'on développe cette fonction par la multiplication algébrique de ses facteurs binômes, chaque terme du développement sera équivalent, au signe près, au produit de ces mêmes quantités rangées dans un certain ordre, et respectivement élevées à des puissances marquées par les exposants o, i, 2, 3, ..., n — i. Cela posé, concevons que dans chaque terme on remplace les exposants des lettres par des indices, en écrivant, par exemple,

aobiC^.-.gn-thn-u

au lieu du terme

et désignons par D ce que devient alors le développement du produit P. La quantité D aura évidemment, tout comme le produit P, la propriété de changer de signe lorsqu'on échangera entre elles deux

des lettres données, par exemple les deux lettres a et h. Il est aisé d'en conclure que la valeur de D sera réduite à zéro, si l'on écrit dans tous ses termes la lettre Z> à la place de la lettre a, sans écrire en même temps « à la place de h. Il en serait de même si l'on écrivait partout à la place de la lettre a l'une des lettres c, . .., g, à. Par suite, si, dans le polynôme D, on désigne la somme des termes qui ont «„ pour facteur commun par A^ao, la somme des termes qui renferment le facteur a^ par A, a,, ... ; enfin la somme des termes qui ont pour facteur a,^^ par A„,«,^,, en sorte que la valeur de D soit donnée par l'équation

(6) D = Ao«o+ Ai«i + A2(72 + - • . + A„i<7,,i,

on trouvera, en écrivant successivement dans le second membre de cette équation les lettres b, c, . . . , g, h h \a place de la lettre a,

! O r= Ao^^oH- Ai/>, + Aa^î +• • •+ A„i^„i, \ 0 = AqCo + A, Cl + A2C2 -I-. . .+ A„iC„,,

i 0:= Ao,A^o + Ai^i^A2^2 4-.. .4-A„i^A'„i, 1 o = Ao/<o + A,//i -}- A-ih-i-i-. . .-f-A„i /<„!•

Supposons maintenant qu'on ajoute membre à membre les équations (4), après avoir multiplié la première par Aq, la seconde par A,, la troisième par Ao, ..., la dernière par A,j,. On verra, dans cette addition, les coefficients des inconnues r, z, ..., w, ç disparaître d'eux-mêmes en vertu des formules (7), et l'on obtiendra définitivement l'équation

D^r= Ao/.oH- A,A-i + A2A-2 + . . .4- Art, /.•„!,

de laquelle on conclura

g ^ A„ /.o4- Ai/>i-f- AoA-j + ...-+- A„-iÂ'„, ^

Comme d'ailleurs des deux (juantités

D et Ao/.o4- A,X-, + A2A-2 + . . .4-A„, /.„,