PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE III

la première est ce que devient le développement du produit

lorsque dans ce développement on remplace les exposants des lettres par des indices, et la seconde, ce que devient la quantité D, équivalente au second membre de la formule (G), lorsqu'on y substitue la lettre ^ à la lettre a, il en résulte que la valeur de x peut être censée déterminée par l'équation

(b — /c)x (c — k) {c — b) X . . . X {h — k) (h — b) (h - c) . . .{h — g) ^9) ^— {b — a)x{c-a){c — b)x...x{h-a){h~b){/i-c)...{h — gy

pourvu que l'on convienne de développer les deux termes de la fraction qui forme le second membre, et de remplacer dans chaque développement les exposants des lettres par des indices. La valeur que l'équation (9) prise à la lettre semble fournir pour l'inconnue x, n'étant pas exacte et ne pouvant le devenir que par suite des modifications énoncées, est ce que nous nommerons une valew symbolique de cette inconnue.

La méthode qui nous a conduits à la valeur symbolique de x fournirait également celles des autres inconnues. Pour montrer une application de cette méthode, supposons qu'il s'agisse de résoudre les équations linéaires

[a^x + b^y -h Co- = k^,

(10) I a,^ 4- ^1 r -h C,^ rr A'i,

( a-^x -Y-b^y -\-c^zz=Lk^.

On trouvera dans cette hypothèse, pour la valeur symbolique de Tinconnue X,

(11) < ■ k^'b^e-— k''b'^c^-\- k^ h^ c^ ^ Iji ij^ ci ^ k^b'>c^— k'-b^Cp

et par suite, la valeur véritable de la même inconnue sera

kobiC^— knh,Ci-h kib^Cp— k^boC^-\- k^b^Ci— k^b^Cp aobiC^— aQbiCi-h a^ b^ Cy — «i 60 c^ 4- «2 ^0 ^1 — <^2 ^i Co

Nota. — Lorsque, dans les équations (4), on remplace les indices des lettres a, b, c, . .. , g, h, k par des exposants, la valeur symbolique de X donnée par l'équation (9) devient évidemment la valeur véritable, et coïncide, comme on devait s'y attendre, avec celle que fournit la formule (3) du § L

§ IIL — Des fonctions homogènes.

Une fonction de plusieurs variables x, y, z, ... est homogène lorsque, t désignant une nouvelle variable indépendante des premières, le changement de x en tx, de y en ty, de s en /s, ... fait varier cette fonction dans le rapport de l'unité à une puissance déterminée de t, et l'exposant de cette puissance est ce qu'on nomme le degré de la fonction homogène. En d'autres termes,

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables x, y, z, . . . , si l'on a, quel que soit /,

(i) f{tx,ty,tz, ...)^l^f{x,y,z, ...)•

Ainsi, par exemple,

^+xy^y^, \Jxy, ly — L

sont trois fonctions homogènes des variables x et j, la première du second degré, la deuxième du premier degré, et la troisième d'un degré nul. Une fonction entière des variables a;, j, z, ..., composée de termes tellement choisis, que la somme des exposants des diverses