PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE III. 8t

variables soit la même dans tous les termes, est évidemment homogène.

Si, dans la formule (i), on fait t = -- on en conclura

Cette dernière équation établit une propriété des fonctions homogènes qu'on peut énoncer de la manière suivante :

Lorsqu'une fonction de plusieurs variables x, y, z, . . . est homogène, elle équivaut au produit de l'une quelconque des variables élevée à une certaine puissance par une fonction des rapports entre ces mêmes variables combinées deux à deux.

On peut ajouter que cette propriété appartient exclusivement anx fonctions homogènes. Et, en effet, supposons f{x, y, z, . . .) équivalente au produit de x"^ par une fonction des rapports entre les variables x, j, z, ... combinées deux à deux. Comme on pourra exprimer tous ces rapports au moyen de ceux qui ont x pour dénominateur, en écrivant, par exemple, au lieu de — ?

il en résulte que la valeur <[ièf{x,y, z, ...) sera donnée par une équation de la forme

Cette équation devra subsister, quelles que soient les valeurs de x, y, z, ... ; et, si l'on y remplace

jc par tœ, -y par ty, z par Iz, ..., elle deviendra

f{tx,ty,tz, ...)=zt''x''o(^,-, ■••V

OEuvresde C— S. Il, t. IM. II

Par suite, on aura, quel que soit /, dans Thypothëse admise,

f{tx,tY, tz, ...) — t''f{x,y, :., . ..),

ou, en d'autres termes,

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables d\ y, z, ....