CHAPITRE IV

DÉTERMINATION DES FONCTIONS ENTIÈRES, d'aPRÈS UN CERTAIN NOMBRE DE VALEURS PARTICULIÈRES SUPPOSÉES CONNUES. APPLICATIONS.

§ I. — Recherche des fonctions entières d'une seule variable, pour lesquelles on connaît un certain nombre de valeurs particulières.

Déterminer une fonction d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, c'est ce qu'on appelle interpoler. Lorsqu'il s'agit d'une fonction d'une ou de deux variables, cette fonction peut être considérée comme l'ordonnée d'une courbe ou d'une surface, et le problème de V interpolation consiste à fixer la valeur générale de cette ordonnée d'après un certain nombre de valeurs particulières, c'est-à-dire à faire passer la courbe ou la surface par un certain nombre de points. Cette question peut être résolue d'une infinité de manières, et en général le problème de l'interpolation est indéterminé. Toutefois, l'indétermination cessera si, à la connaissance des valeurs particulières de la fonction cherchée, on ajoute la condition expresse que cette fonction soit entière, et d'un degré tel que le nombre de ses termes devienne précisément égal au nombre des valeurs particulières données.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on considère d'abord les fonctions entières d'une seule variable x. On établira facilement à leur égard les propositions suivantes :

Théorème I. —Si une fonction entière de la variable x s'évanouit pour

84 COUBS D'ANALYSE.

une valeur particulière de cette variable, par exemple pour ^ = x,,, elle sera divisible algébriquement par x — Xç^.

ÏHÉORÈMi: II. — Si une fonction entière de la variable x s'évanouit pour chacune des valeurs de x comprises dans la suite

•^Oj "^V^ "^2> • • • > •^« — 1>

n désignant un nombre entier quelconque, elle sera nécessairement divisible par le produit

y. OC *-*' 0 / \ 1 / V *X 0 ) * • •(<-* "" •-*.' n 1 / •

Soient maintenant o(x) et ']^{x) deux fonctions entières de la variable x, l'une et l'autre du degré n — t, et qui deviennent égales entre elles pour chacune des n valeurs particulières de x comprises dans la suite x^, x^, x.^, ..., x,^f. Je dis que ces deux fonctions seront identiquement égales, c'est-à-dire qu'on aura, quel que soit ic,

et, en effet, si cette égalité n'avait pas lieu, on trouverait dans la différence

(];(.ic) — o{x)

un polynôme entier dont le degré ne surpasserait pas « — i, mais qui, s'évanouissant pour chacune des valeurs de x ci-dessus mentionnées, aérait pourtant divisible par le produit

c'est-â-dire par un polynôme du degré n, ce qui est absurde. On serait assuré a/ortioride l'égalité absolue des deux fonctions 9(3?) qI'\^(x), si l'on savait qu'elles deviennent égales entre elles pour un nombre de valeurs de x supérieur à n. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème III. — Si deux fonctions entières de la variable x deviennent