PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE IV

égales pour un nombre de valeurs de cette imriable supérieur au degré de chacune des deux fondions, elles seront identiquement égales, quel que soit X.

On en déduit comme corollaire cet autre théorème :

Théorème IV. — Deux fonctions entières de la variable x sont identiquement égales toutes les fois qu elles* deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de cette variable, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans ce cas, en effet, le nombre des valeurs de x, pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales, est indéfini.

Il suit du théorème III qu'une fonction entière u du degré n — i sera complètement déterminée, si l'on connaît ses valeurs particulières

Mq, //), U<i, ■ • ■ , i^n—l

correspondantes aux valeurs

de la variable x. Cherchons dans cette hypothèse la valeur générale de la fonction u. Si l'on suppose d'abord que les valeurs particulières u^, M, , . . . , w„, se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la première u^,, la fonction u, devant alors s'évanouir pour x = x,, pour x = x.,, . . . , enfin pour x = x,^^^, sera divisible par le produit

et sera par conséquent de la forme

k ne pouvant être qu'une quantité constante. De plus, u devant se réduire à u^ pour x = x^, on en conclura

"0 -— " ( ^0 — ^l ) ("^0 — X<i) . . .{ Xf) ■^n — l )

et, par suite,

( J?0 Xj ) (,57o iV^}. . .{^0 — ■^n — l )

De même, si les valeurs particulières m,,, u^, w^, . . . , w^-, se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la seconde //,, on trouvera

( "^ ■^O ) ( -^ '^2 ) • • -{^ ^'fi — l )

te- ttj -— ; J

( .Tj .2"o ) ( J7i ^2 ) • • • ( "^1 •^«—2 )

Enfin, si elles se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la dernière 11,1- i^ on trouvera

\ •^n — i -^'o ) \ '^ ti — \ '^i j • • • (, ■^'rt— 1 -^n -2 )

En réunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypothèses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en X du degré «— i, qui aura évidemment la propriété de se réduire à «„ pour x = x^^, à u^ pour a? = ^,, . . . , à u,^^ pour ic = Xn^. Ce polynôme sera donc la valeur générale de u qui résout la question proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée ])ar la formule

— „ (.37 — ^i)(.r — .r,).. .(■a7-~.r„i) \Xq Xi) \Xq -^2 ) • • • (-^o — ^n-\ ) ■ (x Xç)) [x x^) . . .{x — ^,i — \ ) ( I ) { \^ï -^0 ) ( '^'l X^) . . .yXi — ^n — \ ) +

{X — X^){X — Xj)^ .{x — Xn-'i ) "T" "«—1 7~ \T~. \ 1 \ *

On pourrait déduire directement la même formule de la méthode que nous avons employée ci-dessus (Chap. III, § I) pour résoudre dans un cas particulier des équations linéaires à plusieurs variables {voir]x ce sujet la Note V).

Si, en désignant par a une quantité constante, on remplace dans la formule (i) la fonction u par la fonction u — a, qui sera évidemment