PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV

de même degré, et les valeurs particulières de u par les valeurs particulières de M — «, on obtiendra l'équation

{Ui — a)

{X Xq) [X Xi) . . .{X X„^i )

[X Xq ) {x Xi)...(X X„^2 )

et, en comparant cette équation à la formule (i), on trouvera la suivante

(x — Xi) (x — x^) . . .{x — Xn i)

[Xq -^1 ) ( -^0 -^2 ) • • •{ -^0 -^rt — 1 )

(X Xq ) {x .372 } . . .{x •37/)— I )

(x — Xo){x — Xi)...{x — x„^i)

Cette dernière équation est identique et subsiste quel que soit œ.

Les équations (i) et (2) peuvent servir l'une et l'autre à résoudre, pour les fonctions entières, le problème de l'interpolation; mais il convient, en général, de préférer pour cet objet l'équation (2), attendu qu'on peut y faire disparaître l'un des termes du second membre, en prenant la constante a équivalente à l'une des quantités

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Désignons par^^, j^ l^s coordonnées rectangulaires du premier point, par a;,, j, celles du second, et par j l'ordonnée variable de la droite. En remplaçant dans la formule (2) la lettre u par la lettre/, puis faisant n = i et a = Jq, on trouvera pour l'équation de la droite

(4) •y-7o-(ri-vo)4^"-.

Supposons, en second lieu, qu'il s'agisse de faire passer par trois points donnés une parabole dont l'axe soit parallèle à l'axe des y.

Nommons

^•, el ji, ^2 et ja, ^3 et j»

les coordonnées rectangulaires des trois points. Soit de plus j l'ordonnée variable de la parabole. En remplaçant toujours, dans la formule (2), la lettre u par la lettre y, puis faisant n = 2 eta — Vi, on trouvera pour l'équation de la parabole

OU, ce qui revient au même,

(6) y-ji=- —

(.ro - /i ) ^ — — + (/2 - ji ) ^ ^

Lorsque dans l'équation (i) on prend u = af" (m désignant un nombre entier inférieur à n), les valeurs particulières de u représentées par

«0, «,, U-i, . . . , If/i-l

se réduisent évidemment à

On aura donc, pour les valeurs entières de m qui ne surpassent pas /i — I,

^,„ (3- — ^o)(j? — .372). . .{X — X„i) (7) / ' (.Ti— ^■o)(^,— •i-2)...(^i — ^«-1)

(■•*?« — 1 — ^0 ('^rt— 1 "^l)' • •(.'^'«—1 •^«—•2)

Cette dernière formule comprend comme cas particulier l'équation (3). De plus, si l'on observe que chaque puissance de x, et en particulier