PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV
la puissance af'~* , doit nécessairement avoir le même coefficient dans les deux membres de la formule (7), on trouvera : 1** En supposant /?2 <| // — I,
2'* En supposant m == « — i,
(9) ', (^1 — a^o)(>27i — ^2).--(-^l— -fVi-l)
(J7„-1 — ;2?q) (^,j t — Xi) . . . (.:^/j— 1 — -^n-i )
Il est bon de remarquer que la formule (8) subsiste dans le cas même où l'on suppose //2 = o, et devient alors
(lo) / (-^1 — ^o)(-a?i— -iCa)- ••(■a^i— J?„i)
§11. — Détermination des fonctions entières de plusieurs variables, d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues.
Les méthodes par lesquelles on détermine les fonctions d'une seule variable, d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées
GF.uvrcsdeC. — S.W, r.lU. l '^
connues, peuvent être facilement étendues, comme on va le voir, aux fonctions de plusieurs variables.
Considérons d'abord, pour fixer les idées, des fonctions de deux variables x et y. Soient ;p(;r, y), '\(yX\,y) deux semblables fonctions, l'une et l'autre du degré n — i par rapport à chacune des variables, et qui deviennent égales entre elles toutes les fois que, en attribuant à la variable x une des valeurs particulières
J7q, X^, Xii, • • •, 3C j^ .|,
on attribue en même temps à la variable j l'une des suivantes
j'o' j'i» y-ï'> ' • • ■> y ii-\-
©(a:-^, y), 'j»(.r„, y) seront deux fonctions de la seule variable y, qui deviendront égales entre elles pour n valeurs particulières de cette variable. Par suite (en vertu du théorème III, § I), ces deux fonctions seront constamment égales, quel que soit y. On aura donc identiquement
On trouvera de même
A^n-\-,y) = -^{xn-x,y
D'ailleurs, les premiers membres des n équations précédentes sont autant de valeurs particulières de la fonction 9(07, y) dans le cas où l'on y considère j^seul comme variable, et les seconds membres représentent les valeurs particulières correspondantes de la fonction ^{.v,y). Les deux fonctions
lorsqu'on y attribue à y une valeur constante choisie arbitrairement, deviennent donc égales pour /< valeurs particulières de^c; et, comme elles sont toutes deux du degré u — \ par rapport à x, il en résulte
