PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV

qu'elles resteront égales, non seulement pour une valeur quelconque attribuée à la variable y, mais encore pour une valeur quelconque de X. On serait assuré, a fortiori, de l'égalité absolue des deux fonctions ^(.r, y). 'H-^' j)' *^^ l'on savait qu'elles deviennent égales toutes les fois que les valeurs des variables x et j sont respectivement prises dans deux suites composées chacune de plus de n termes différents. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème l . — Si deux fonctions entières des variables x et y deviennent égales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respectivement prises dans deux suites qui renferment l'une et l'autre un nombre de termes supérieur aux exposants les plus élevés de x et de y dans ces mêmes fonctions, elles seront identiquement égales.

On en déduit, comme corollaire, cet autre théorème :

Théorème II. — Deux fonctions entières des variables x et y sont identiquement égales, toutes les fois qu elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans ce cas, en effet, le nombre des valeurs de x et de y pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales est indéfini.

Il suit du théorème I que, si la fonction '^(x, j) est supposée entière et du degré n — i par rapport à chacune des variables x et y, cette fonction sera complètement déterminée dès que l'on connaîtra les valeurs particulières qu'elle reçoit, lorsque, en prenant pour valeur de X l'une des quantités

Xq, Xi, x^, . . . , x„^i,

on prend en même temps pour valeur de y l'une des suivantes

Jo. /l» 72, •••, fn-l-

Dans la même hypothèse, la valeur générale de la fonction pourra

être facilement déduite de la formule (i) du paragraphe précédent. p]n effet, si l'on remplace dans cette formule u par o{x,y), on en tirera

.{X-Xn-,) ^^^ ^,^

{x — Xq){x-

{Xi Xq) {x^ ■-

{x — Xo){

ce ce

)...{X — Xn-',)

\^n—\ ■^0 ) {•^ii — X X^) . . . \X,^^ ■2^/i — 2;

et l'on aura, de plus, en désignant par m un des nombres entiers

(r — ji) (j—jî).. •(/ — /«-.)

9(^„,, Jo) ?(•«•//,» Ji)

On conclura immédiatement des deux équations qui précèdent la valeur générale de 9(^,7). On trouvera, par exemple, en supposant /i = 2,

Xf^ X ^

X " X ç\ X^ Xq

Xq jTj

X Xq

Si l'on considérait des fonctions de trois ou d'un plus grand nombre de variables, on obtiendrait des résultats entièrement semblables h ceux auxquels on vient de parvenir pour des fonctions de deux va-