PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV

riables seulement. On trouverait, par exemple, à la place du théorème II, la proposition suivante :

Théorème III. — Deux fondions entières de plusieurs variables œ, y, z, ... sont identiquement égales toutes les fois qu'elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

§ III. — Applications.

Pour appliquer les principes établis dans les paragraphes précédents, considérons en particulier des produits formés par la multiplication de facteurs successifs dont chacun surpasse le suivant d'une unité, le premier facteur étant l'une des variables oc, y, s, ..., et cherchons à exprimer, au moyen de ces sortes de produits, le produit tout semblable qu'on obtiendrait en prenant pour premier facteur la somme des variables données, savoir

Si l'on réduit toutes les variables à deux, le problème qu'il s'agit de résoudre pourra s'énoncer comme il suit :

Problème I . — Exprimer le produit

dans lequel n désigne un nombre entier quelconque, par le moyen des

produits suivants

et de tous ceux qu'on peut en déduire, en changeant seulement la valeur de n.

Solution. — Pour résoudre plus facilement la question précédente, supposons d'abord que x et y soient des nombres entiers égaux ou supérieurs à n. Alors le produit (i) ne sera autre chose que le numé-

rateur do la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possibles de ^'-Hj lettres prises n à n, puisque ce nombre est précisément

Cela posé, concevons que les lettres

étant en nombre égal 'àœ -\- y, on les divise en deux groupes, de telle manière que les lettres a, h, c, ... du premier groupe soient en nombre égal à X, et les lettres p, q, r, ... du second groupe en nombre égal à y. Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres, les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera

^(O" — l) (œ ^ 2) . . . (jC — «4-l)

D'autres renfermeront n — i lettres prises dans le premier groupe, et une lettre prise dans le second. On déterminera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espèce, et l'on verra qn'il est égal ii

On trouvera de même pour le nombre des combinaisons qui renferment // — 2 lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second,

arix — î) (ûc — 2 ) . . . { .r — n -h 3) y {y — i )

etc.; enfin, pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le dernier groupe,

r . 2 . 3 . . . /i La somme des nombres des combinaisons de cbaque espèce devant