PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV

reproduire le nombre total des combinaisons des a? +/ lettres données prises nh n, on en conclura

/ (■:g+j)(.3?+.r — i)--.(^+.y — n -hi)

,37 ( .r — I ) . . . ( ^ — n -h i) xix — i) . . .{.X — n -h -i) y

L'équation précédente, étant ainsi démontrée pour le cas où les variables X qX y obtiennent des valeurs entières supérieures à n, subsistera, en vertu du théorème II (§ II), pour des valeurs quelconques de ces variables, et la valeur du produit (i) tirée de la même- équation sera

( 3 ) ' nin — i)

+ ~^'yLy -i)---(J— « + 2)+j(/ — i)...(y— «4-1).

Corollaire J. — Si dans l'équation (2) on remplace x par — ^ et j par — J, on obtiendra la suivante :

( .ï; -4- y ) ( .r H- y 4- I ) . . , ( .r H- >• + rt — I ) 1 . 2 . 3 . . . /i

Corollaire IL — Si dans l'équation (2) on remplace x par - et y

par 7 , on trouvera

(jc + y) {a; -\- y — 2 ) . . . ( ^ 4- y — 2 /< -i- 2 ) 2.4-6. . .(2/1)

a: (a: — 2) . . .{jc -— 2n -h 2) jc{x — 2) . . . {jc — 2/1 -\- li) y *

Corollaire 111. — En développant les deux membres de l'équation (2), et ne conservant, de part et d'autre, que les termes dans lesquels la somme des exposants des variables est égale à n, on obtiendra la formule

{œ-^yY x"^ , x"~^ y

. 2 . 3 . . . /i 1 . 2 . 3 . . . rt 1 . 2 . 3 , . . ( /i — I ) I

La valeur de (x + j)" tirée de cette dernière formule est précisément celle que fournit le binôme de Newton.

Les formules qu'on vient d'obtenir peuvent être facilement étendues au cas où l'on considère plus de deux variables; et la méthode qui nous a conduits à la solution du problème I se trouve également applicable à la question suivante :

Problème IL — x, y, z, . . . désignant des variables en nombres quelconques, exprimer le produit

{x-hy + z + ...){x-^y + z-\-... — i){x -\-y -h s -+-...— 2) ... (jc -4- / + 5 -f- ...— «+) )

en fonction des suivants

et de tous ceux qu'on peut en déduire en changeant la valeur de n.