PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V

Problème I. — Déterminer la fonction ^{x) de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

(i) 9(^+j) = 9(a;)-hcp(7).

Solution. — Si dans l'équation (i) on remplace Buccessivement j

par y -ir- z, z par s -h m, . . . , on en tirera

9(j;- + 7-+-54-M+..,) = 9(-2?) + 9(j)-f-9(s) + cû(M)-i-...,

quel que soit le nombre des variables x, y, z, u, . . .; si, de plus, on

désigne par m ce même nombre, par a une constante positive, et que

l'on fasse

la formule que l'on vient de trouver deviendra

cp(ma) =: m cp(a).

Pour étendre cette dernière équation au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre fractionnaire — > ou même par un nombre quelconque \x, on fera, en premier lieu.

— — Cf.,

mQtn désignant deux nombres entiers, et l'on en conclura

nG = mcx,

« cp(ê) ^ 7?2 (p(a),

puis, en supposant que la fraction — varie de manière à converger vers un nombre quelconque jjl, et passant aux limites, on trouvera

cp(^a)=:fA<p(a).

Si maintenant on prend a = i, on aura, pour toutes les valeurs positives de [A,

(5) cp(fz) — f^9(i)

et, par suite, en faisant converger [jt. vers la limite zéro,

D'ailleurs, si dans l'équation (i) on pose ^ = a, y= — a, on en tirera

9(— ^) =1:9(0) — Cp(f^)izr — ^ 9(1).

L'équation (5) subsistera donc lorsqu'on y changera [x en — a. En «l'autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x,

Il suit de la formule (6) que toute fonction o(ûo) qui, demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, vérifie l'équalion (i), est nécessairement de la forme

a désignant une quantité constante. J'ajoute que la fonction ax jouira des propriétés énoncées, quelle que soit la valeur de la constante a. En effet, le produit ax est, entre des limites quelconques de la variable X, fonction continue de la variable, et, de plus, la supposition 9(^) = ax change l'équation (i) en cette autre

a(^4-y)rrra^H- ay,

laquelle est évidemment toujours identique. La formule (7) fournit donc une solution de la question proposée, quelle que soit la valeur attribuée à la constante a. La faculté que l'on a de choisir arbitrairement cette constante lui a fait donner le nom de constante arbitraire.

Problème IL — Déterminer la /onction (^{x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la vanable x, et que