PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V

l'on ait pour tontes les valeurs réelles des variables x et y

(2) 9(.r+/) — cp(j7)9(7).

Solution. — Il est d'abord facile de s'assurer que la fonction o{x), assujettie à vérifier l'équation (2), n'admet que des valeurs positives; et, en effet, si dans l'équation (2) on fait y = x, on trouvera

puis on en conclura, en écrivant ^x au lieu de x,

La fonction 9(0?) est donc toujours équivalente à un carré, par conséquent toujours positive. Cela posé, concevons que dans l'équation (2) on remplace successivement j par j 4- z, z par z-\- a, . . . , on en tirera

quel que soit le nombre des variables x, y, z, u, Si, de plus, on

désigne par m ce même nombre, par a une constante positive, et que l'on fasse

la formule que l'on vient de trouver deviendra

9{ni(x) 3= [9(a)]"'.

Pour étendre cette dernière formule au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre fractionnaire — ? ou même par un nombre quelconque [x, on fera, en premier lieu.

r ni

m et n désignant deux nombres entiers, et l'on en conclura

puis, en supposant que la fraction — varie de manière à converger vers un nombre quelconque [a, et passant aux limites, on trouvera

Si maintenant on prend a = r, on aura pour toutes les valeurs positives de [X

(8) 9(^) = [cp(i)]!^

et, par suite, en faisant converger [Jt, vers la limite zéro,

D'ailleurs, si dans l'équation (2) on pose x = [t., y = — [jl, on en conclura

L'équation (8) subsistera donc lorsqu'on y changera a en — a. En d'autres termes, on aura pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x

H suit de l'équation (9) que toute fonction <^(x) propre à résoudre le second problème est nécessairement de la forme

A désignant une constante positive. J'ajoute qu'on peut attribuer à cette constante une valeur quelconque entre les limites o et oc. En effet, pour toute valeur positive de A, la fonction A^ reste continue depuis a- = ~ 3c jusqu'à ^ = -h qo, et l'équation

est identique. La quantité A est donc une constante arbitraire qui n'admet que des valeurs positives.

PUEMIERK PARTIE. - CHAPITRE V. 103

Nota. — On pourrait arriver très simplement à l'équation (9) de la manière suivante.

Si l'on prend les logarithmes des deux membres de l'équation (2) dans un système quelconque, on trouvera

et l'on en conclura {voir le problème 1)

L o{x) = xL 9(1),

puis, en repassant des logarithmes aux nombres

Problème III. — Déterminer la fonction o{x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x, et que l'on ait pour toutes les valeurs positives des variables x et y

Solution. — Il serait facile d'appliquer à la solution du problème 111 une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le premier; mais on arrive plus promptement à la solution cherchée en mettant l'équation (3), ainsi qu'on va le faire, sous une forme analogue à celle de l'équation (i).

Si l'on désigne par A un nombre quelconque et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on aura, pour toutes les valeurs positives des variables x et j,

en sorte que l'équation (3) deviendra

Gomme, dans cette dernière formule, les quantités variables Lx, hy admettent des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte

lOi COURS D'ANALYSE.

qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x

et j,

On en conclura \voir\(i problème I, équat. (6)J

et, par suite,

ou, ce qui revient au même,

(il) 9(^) = 9(A)L.r.

Il suit de la formule (i i) que toute fonction 9(^), propre à résoudre le problème III, est nécessairement de la forme

(12) ^{x) =- « LC-^),

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer : i" que la constante a demeure entièrement arbitraire, 2° que, en choisissant convenablement le nombre A, qui est lui-même arbitraire, on peut la réduire à l'unité.

Problème IY. — Déterminer la fonction o(^x^ de manière qu'elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la l'ariable x et que l'on ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y,

Solution. — H serait facile d'appliquer à la solution du probb'me IY une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l'on observe que, en désignant par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on peut mettre l'équation (4) sous la forme

(]omme, dans cette dernière équation, les quantités variables l\x),