PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V

L(j) admettront des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables X et j,

cp(A^+^) = 9(A^)9(A3^).

On en conclura [voir le problème II, équat. (9)]

9(A^) = [9(A)]^ et, par suite,

OU, ce qui revient au même,

Il résulte de l'équation (i3) que toute fonction <^{x), propre à résoudre le problème IV, est nécessairement de la forme

(l4) 9(^)zr:.37«,

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer que cette constante doit demeurer entièrement arbitraire.

Les quatre valeurs de ^{x) qui satisfont respectivement aux équations (i), (2), (3), (4), savoir

ax, A-^, ahx, œ'^,

ont cela de commun, que chacune d'elles renferme une constante arbitraire a ou A. On doit en conclure qu'il y a une grande différence entre les questions où il s'agit de calculer les valeurs inconnues de certaines quantités et les questions dans lesquelles on se propose de découvrir la nature inconnue de certaines fonctions d'après des propriétés données. En effet, dans le premier cas, les valeurs des quantités inconnues se trouvent finalement exprimées par le moyen d'autres quantités connues et déterminées, tandis que dans le second cas les fonctions inconnues peuvent, comme on le voit ici, admettre dans leur expression des constantes arbitraires.

OEuvres de C. — S. Il, t. UI. l4

§ II. — Recherche d' une fonction continue formée de telle manière que, en multipliant deux semblables fonctions de quantités variables et doublant le produit, on trouve un résultat égal à celui qu'on obtiendrait en ajoutant les fonctions semblables de la somme et de la différence de ces variables.

Dans chacun des problèmes du paragraphe précédent, l'équation à résoudre renfermait, avec la fonction inconnue '^{x), deux autres fonctions semblables, savoir, 9(7) et cp(ar + j) ou ?(-^/)- Nous allons maintenant nous proposer un nouveau problème du même genre, mais dans lequel l'équation de condition, que la fonction cp(.^) doit vérifier, renferme quatre fonctions semblables au lieu de trois. Voici en quoi il consiste :

Problème. — Déterminer la fonction o{x) de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y,

Solution. — Si dans l'équation (r) on fait x = o, on en tirera

La fonction ^(j?) se réduit donc à l'unité, pour la valeur particulière X = 0, et, puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair qu'elle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière, très peu différente de l'unité, par conséquent positive. On pourra donc, en désignant par a un nombre très petit, choisir ce nombre de telle manière que la fonction cp(.r) reste constamment positive entre les limites

Cela posé, il arrivera de deux choses l'une : ou la valeur positive de 9 (a) sera comprise entre les limites o et i, ou cette valeur sera supé-