PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE V

rieure à l'unité. Nous allons examiner successivement ces deux hypothèses.

Concevons d'abord que cp(a) ait une valeur comprise entre les limites o et 1 . On pourra représenter cette valeur par le cosinus d'un certain arcô renfermé entre les limites o, -, et poser en conséquence

cp(a)r=cos9.

De plus, si, dans l'équation (i) mise sous la forme

(p( J + J?) =: 2 Cp(^) cp(7) — Cp(/ — ^),

on fait successivement

a- — ex, y--=<x, ^ 33 a, y = 2 a.

on en déduira l'une après l'autre les formules

(p ( 2 a ) =: 2 COS- 0 — i::^ COS 2 Q,

<p(3a) ::= 2 cos9cos2 9 — cos9 ---cosoQ,

a>(4a) =: 2 COSÔ COSOÔ — C0S2Ô =: COS 4 9,

et en général, m désignant un nombre entier quelconque,

cp(/7ia) = 2 COS f^ COS (m — i)9 — ces (m — 2) 9 i=: co^mO.

J'ajoute que la formule

(p(m(x) =^ COS ni9

subsistera encore, si l'on y remplace le nombre entier m par une fraction ou même par un nombre quelconque it.. C'est ce que l'on prouvera facilement, ainsi qu'il suit.

Si dans l'équation (i) on fait a? = - a, j = -a, on en tirera

^ 9(o) + ?(^) ^ L±cos0 ^ / ^^ . g 2 2 V 2 '

puis, en extrayant les racines positives des deux membres et obser-

vant que les deux fonctions <^(x), cos.r restent positives, la première entre les limites x = o, x = ce, la seconde entre les limites x = o, j; = 0, on trouvera

- a ) = cos -0.

De même, si dans l'équation (i) on fait

..=:ia, y^U

on en tirera

puis, en extrayant départ et d'autre les racines positives,

o [ -^ a) = cos-^ 9.

Par des raisonnements semblables, on obtiendra successivement les formules

- a ) = cos ô 0,

^<76^)"='^'llî^'

et en général, n désignant un nombre entier quelconque.

— a ) = cos— 9.

Si l'on opère sur la valeur précédente de 9 ( -^ ^) P^ur en déduire celle ^^'' '^\~n^\ comme on a opéré sur la valeur de ap(a) pour en déduire celle de o(mo(.), on trouvera

<f>^-ccJ = cos-9i

puis, en supposant que la fraction ^ varie de manière à s'approcher