PREMIÈRE PARTIE.- CHAPITRE VI

de la fraction 0 r c^ a — 5 P^r — ' c'est-à-dire à 7^-^.^ — » en

sorte qu'elle n'altérera pas la septième décimale.

Le nombre e, déterminé comme on vient de le dire, sera souvent employé dans la sommation des suites et dans le Calcul infinitésimal. Les logarithmes pris dans le système qui a ce nombre pour base s'appellent népériens, du nom de Néper, inventeur des logarithmes, ou hyperboliques, parce qu'ils servent à mesurer les diverses parties de l'aire comprise entre l'hyperbole équilatère et ses asymptotes.

On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie de points. Ainsi, lorsque la série

Uq, Uy, U2, W3, . . .

est convergente, la somme de cette série est représentée par

En vertu de cette convention, la valeur du nombre e se trouvera déterminée par l'équation

tc.\ III I

(o) eT= iH 1 1-

I 1.2 1.2.3 1 .2.3.4 ' ' " ' et, si l'on considère la progression géométrique

on aura, pour des valeurs numériques de x inférieures à l'unité,

La série

Uq, l(\, «2> ''3> . • •

étant supposée convergente, si l'on désigne sa somme par s, et par .*„ la somme de ses n premiers termes, on trouvera

De cette dernière équation, il résulte que les quantités

formeront une nouvelle série convergente dont la somme sera équivalente à * — ^rt. Si l'on représente cette même somme par r„, on aura

et r« sera ce qu'on appelle le reste de la série (i) à partir du w'*'"'^ terme.

Lorsque, les termes de la série (i) renfermant une même variable x, cette série est convergente, et ses différents termes fonctions continues de X, dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à cette variable,

sont encore trois fonctions de la variable x, dont la première est évidemment continue par rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière dont il s'agit. Cela posé, considérons les accroissements que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croître x d'une quantité infiniment petite a. L'accroissement de ^„ sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite ; et celui de r„ deviendra insensible en même temps que r„, si l'on attribue à n une valeur très considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction s ne pourra être qu'une quantité infiniment petite. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante :

Théorème I . — Lorsque les différents termes de la série ( i ) sont des l fonctions d'une même variable x, continues par rapport à cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de x.

En vertu de ce théorème, la somme de la série (2) devra rester fonction continue de la variable x, entre les limites x — — \ , x — \\