III X
on trouvera
Un I . 2 . 3 . . . « ( /i -H I ) Il -\- \ 00
et par conséquent la série sera convergente, ce que l'on savait déjà.
Le premier des deux théorèmes qu'on vient d'établir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série dont tous les termes sont positifs, que dans le cas particulier où la quantité représentée par k devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, il n'est pas toujours facile de décider la question. Toutefois, nous allons démontrer ici deux nouvelles propositions à l'aide desquelles on peut souvent y parvenir.
Théorème III. — Lorsque, dans la série (i), chaque terme est inférieur à celui qui le précède, cette série et la suivante
sont en même temps convergentes ou divergentes.
Démonstration. — Supposons d'abord la série (i) convergente, et
désignons sa somme par 5. On aura
et par suite la somme des termes de la série (2), pris en tel nombre que l'on voudra, sera inférieure à
«0+ 2«i -i- 2 /<2+ 2^3+ 2 W4 -H . . . =r 25 — Uq.
Il en résulte que la série (2) sera convergente.
Supposons, en second lieu, la série (i) divergente. La somme de ses termes, pris en très grand nombre, finira par surpasser toute limite assignable; et, comme on aura
2 M, > Ui + U2,
4 U-i > «3 H- «i 4- Wg -+- «6,
on devra conclure que la somme des quantités
«0» 2Mi, 4«3, 8W7, ...,
prises en très grand nombre, finit elle-même par devenir supérieure à toute quantité donnée. La série (2) sera donc alors divergente, conformément au théorème énoncé.
Corollaire. — Si pour la série (i) on prend la suivante
a désignant une quantité quelconque, la série (2) deviendra
PREMIÈRE PARTtE. - CHAPITRE VI. 125
Cette dernière est une progression géométrique, convergente lorsqu'on suppose a>i, et divergente dans le cas contraire. Par suite, la série (3) sera elle-même convergente si a est un nombre supérieur à l'unité, et divergente si l'on a p. = i ou [x<i. Par exemple, des trois séries
la première sera convergente et les deux autres divergentes.
Théorème IV. — Supposons que Von désigne par L la caractéristique des logarithmes dans un système quelconque, et que, pour des valeurs croissantes de n, le rapport
converge vers une limite finie h. La série (i) sera convergente si l'on a h^i, et divergente si l'on a h <^i.
Démonstration. — Supposons d'abord A]>i, et choisissons à volonté entre les deux quantités i et h une troisième quantité a, en sorte qu'on ait
Le rapport -^/i^ , ou son é^al
Un
finira par être, pour de très grandes valeurs de n, constamment supérieur à la quantité a. En d'autres ..termes, n venant à croître au delà
(rime certaine limite, on aura toujours
L{n) OU, ce qui revient au même,
L(^)>aL(«),
et, par suite.
Un n"
Il en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment inférieurs aux termes correspondants de la suivante
III i I
et, comme cette dernière sera convergente (à cause de a>i), on pourra de la remarque précédente conclure a/or/«oW la convergence de la série (i).
Supposons, en second lieu, /i< i, et plaçons encore entre les quantités I et h une troisième quantité a, en sorte qu'on ait
On finira par avoir constamment, pour de très grandes valeurs de n^
ou, ce qui revient au même,
L(i-)<<zL(«),
11 en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constam-
