PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI
ment supérieurs aux termes correspondants de la suivante
et, comme cette dernière sera divergente (à cause de a < i), on pourra de la remarque qu'on vient de faire conclure a fortiori la divergence de la série (i).
Étant données deux séries convergentes dont tous les termes sont positifs, on peut, en ajoutant ou multipliant ces mêmes termes, former une nouvelle série dont la somme résulte de l'addition ou de la multiplication des sommes des deux premières. Nous établirons à ce sujet les deux théorèmes suivants :
Théorème V. — Soient
i Uq, Ul, U^, . . . , M„, . ; . ,
( ^oy ^i, <^2, • • -, «'«, ...
deux séries convergentes, qui, uniquement composées de termes positifs > aient respectivement pour sommes s et s' :
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s ^ s\ Démonstration. — Si l'on fait
s„ et^;^ convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de n, vers les limites s et s'. Par suite, s„-hs\^, c'est-à-dîre la somme des n premiers termes de la série (8), convergera vers la limite .v + /, ce qui suffît pour établir le théorème énoncé.
Théorème VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent,
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme ss .
Démonstration. — Soient toujours s^, s\^ les sommes des n premiers termes des deux séries (7), et désignons en outre par s^^ la somme des n premiers termes de la série (9). Si l'on représente par m le plus
grand nombre entier compris dans — — > c'est-à-dire lorsque w
est impair, et '- dans le cas contraire, on aura évidemment
et
ou, en d'autres termes,
Concevons maintenant que l'on fasse croître n au delà de toute limite. Le nombre
croîtra lui-même indéfiniment, et les deux sommes s„, ^,„+, convergeront vers la limite s, tandis que s',^ et s'^^^^ convergeront vers la limite /. Par suite, les deux produits s^s\^, s,n+^s\^^^ et la somme s]^ comprise entre ces deux produits convergeront vers la limite ss' , ce qui suffit pour établir le théorème VL
§ 11 L — Des séries qui renferment des termes positifs et des termes négatifs.
Supposons que la série
se compose de termes, tantôt positifs, tantôt négatifs, et soient respectivement
(a) po. Pi» P2> •••) P/i» •••
