PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI

les valeurs numériques de ces mêmes termes, en sorte qu'on ait

Mo==tpo, Mi=:±:pi, U.2^±p^, ..., Un^±p,i,

La valeur numérique de la somme

ne pouvant jamais surpasser

pO+Pl+p2 + - • ■ + Pn-l,

il en résulte que la convergence de la série (2) entraînera toujours

celle de la série (i). On doit ajouter que la série (]) sera divergente, si

quelques termes de la série (2) finissent par croître au delîi de toute

limite assignable. Ce dernier cas se présente lorsque les plus grandes

valeurs de (p„)" convergent, pour des valeurs croissantes de n, vers

une limite supérieure à l'unité. Au contraire, lorsque cette limite

devient inférieure à l'unité, la série (2) est toujours convergente. On

peut, en conséquence, énoncer le théorème suivant :

Théorème I. — Soit p,^ la valeur numérique du terme général u^ de la

série (i), et désignons par k la limite vers laquelle convergent, tandis

que n croît indéfiniment, les plus grandes valeurs de l'expression (pn)"-

La série (i) sera convergente si l'on a k<^î, et divergente si l'on a

Lorsque la fraction ^^^^ c'est-à-dire la valeur numérique du rapport > conversera vers une limite fixe, cette limite sera, en vertu du

II

théorème IV (Chap. II, § III), la valeur cherchée de k. Cette remarque conduit à la proposition que je vais écrire :

Théorème II. Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport

Un

converge vers une limite fixe k, la série (i) sera convergente toutes les fois que Ion aura k<i.\-, et divergente toutes les fois que l'on aura X; ^ i .

OEticres de C. — S. Il, t. \\\. IJ

Par pxomple, si l'on considère la série

Ua

on trouvera

Un-ut I . I

d'où il résulte que la série sera convergente.

Le premier des deux théorèmes qu'on vient d'établir ne laisse d'incertitude sur la convergence ou la divergence d'une série que dans le cas particulier où la quantité représentée par k devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la série proposée, soit en s'assurant que les valeurs numériques de ses différents termes forment une série convergente, soit en ayant égard au théorème suivant :

Théorème III. — Si dans la série (i) la valeur numérique du terme général u^ décroît constamment et indéJinimQnl, pour des tmleurs croissantes de n, si de plus les différents termes sont alternativement positifs et négatifs, la série sera convergente.

Considérons, par exemple, la série