PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI

étant évidemment comprise entre

décroîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes de //, quel que soit m, ce qui suffît pour établir la convergence de la série proposée. Les mêmes raisonnements peuvent évidemment s'appliquer à toutes les séries de ce genre. Je citerai, entre autres, la suivante

laquelle, en vertu du théorème III, restera convergente pour toutes les valeurs positives de [jl.

Si dans la série (4) on supprime le signe — devant chacun des termes de rang pair, on obtiendra la série (3) du §11, qui est divergente toutes les fois que l'on suppose [j. -- i ou [j^'< i- Par suite, pour transformer une série convergente en série divergente, ou réciproquement, il suffit quelquefois de changer les signes de certains termes. Au reste, cette remarque est uniquement applicable aux séries pour lesquelles la quantité désignée par k dans le théorème II se réduit à l'unité.

Etant donnée une série convergente dont tous les termes sont positifs, on ne peut qu'augmenter la convergence en diminuant les valeurs numériques de ces mêmes termes, et changeant les signes de quelquesuns. 11 est bon d'observer qu'on produira ce double effet si l'on multiplie chaque terme par un sinus ou par un cosinus, et cette observation suffît pour établir la proposition suivante :

Théorème IV. — Lorsque la série

uniquement formée de termes positifs, est convergente, chacune des sui-

çantes

^ pocosôo, picose,, p.yCOsOi, ..., p„COS0,„ ..., ( "^ ' i

(poS'nôoj piSi^^ij PiS'inO.^, ..., p„sin(5„,

l'est pareillement, quelles que soient les valeurs des arcs 6„, 8,, Oo, .. .,

Corollaire. — Si l'on suppose généralement

0 désignant un arc quelconque, les séries (5) deviendront respectivement

i Po, PiCOSÔ, 0-2 ces 2 9, ..., p„C0Srt9, ...,

( p,sin0, pîSinaô, ..., p„sin/î9, ....

Ces deux dernières seront donc toujours convergentes en même temps que la série (2).

Si l'on considère à la fois deux séries dont chacune renferme des termes positifs et des termes négatifs, on démontrera facilement à leur égard les théorèmes V et VI du § II, ainsi qu'on va le voir. .

Théorème Y. — Soient

i Uq, «j , «2, • • • > fJ^m ■ • • y

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes s et s' ;

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s -\- s' . Démonstration. — Si l'on fait

fin = Mo + "1 -+- "2 + • • • -+- «" -I » •Si " «'o + «'1 -+- <'2 +...-+- Vn-^,

s„ et .9), convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de n, vers les limites s et s'. Par suite, s,,-j- s]^, c'est-à-dire la somme des n premiers termes de la série (8), convergera vers la limite s ^- s', ce qui suffit pour étahlir le théorème énoncé.

Théorème VI. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème