PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI

précédent, si chacune des séries (7) reste convergente, lorsqu'on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques.

.iY^ra M/z^' nouvelle série convergente, qui aura pour somme ss' .

Démonstration. — Soient toujours i',,, s]^ les sommes des /i premiers termes des deux séries (7), et désignons en outre par s\ la somme des n premiers termes de la série (9). On trouvera

De plus, le théorème VI ayant été démontré dans le second paragraphe pour le cas où les séries (7) ne renferment que des termes positifs, il en résulte que, dans cette hypothèse, chacune des quantités s„s\,, s]^ converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite ss' , et par suite la différence s,^s\^ — s\^ ou, ce qui revient au même, la somme

««-lt'«-l+ («»-l'^«-2+ Un--l^'n~x) +• • •

-\-{Un-xVy +Un^îVi + . . . + Mj P„2 + «i <'„-i ),

vers la limite zéro.

Concevons maintenant que, les termes des séries -(7) étant les uns positifs et les autres négatifs, on désigne respectivement par

i Po» Pi, Pi, ■ ■ -, Pn, • ■ -, (10) , , ,

( Po' P'i' P2' • • •' P'a, ■ ■ •

les valeurs numériques de ces différents termes. Supposons de plus, conformément à l'énoncé du théorème, que les séries (10), composées

de ces mêmes valeurs numériques, soient toutes deux convergentes. En vertu de la remarque qu'on vient de faire, la somme

+ (P«-Ip', 4-p„-2p; +--- + P2P« î + pip;,,-,)

convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro; et, comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celle de la suivante

il en résulte que cette dernière ou, ce qui revient au même, la différence s„s[^ — sl convergera elle-même vers la limite zéro. Par suite, ss\ qui est la limite du produit s,,s]^, sera encore celle de s^. En d'autres termes, la série (9) sera convergente et aura pour somme le j)r()duit .v.ç',

Scolie. — Le théorème précédent pourrait ne plus subsister si les séries (7 ), supposées convergentes, cessaient de l'être après la réduction de chaque terme à sa valeur numérique. Concevons, par exemph', que pour chacune des séries (7) on prenne la suivante

La série (9) deviendra