III II

a une valeur numérique évidemment supérieure à

lorsque n est pair, et à

lorsque n est impair, c'est-à-dire, dans tous les cas possibles, une valeur numérique supérieure à l'unité. Cependant la série (ii) est convergente. Mais on doit observer qu'elle cesse de l'être lorsqu'on réduit chaque terme à sa valeur numérique, puisqu'elle se change alors en la série (6) du § II.

§ IV. — Des séries ordonnées suwant les puissances ascendantes et entières d'une variable.

Soit

^ly Uq^ Cl ^ OC ^ M 2 OC • ... y ^U OC y . . •

une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable x,

désignant des coeificients constants positifs ou négatifs. Soit de plus A ce que devient pour la série (2) la quantité k du paragraphe précédent (voirie § III, théorème II). La même quantité, calculée pour la série (i), sera équivalente à la valeur numérique du produit

Par suite, la série (i) sera convergente si cette valeur numérique est inférieure à l'unité, c'est-à-dire, en d'autres termes, si la valeur

numérique de la variable x est inférieure à — • Au contraire, la

série (i) sera divergente, si la valeur numérique de x surpasse —•

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème 1 . — Soit A la limite vers laquelle converge, pour des r^aleurs croissantes de n, la racine n'^""" des plus grandes iialeurs numériques de a,j. La série (i ) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.

Lorsque la valeur numérique du rapport -^^^ converge vers une

limite fixe, cette limite est (en vertu du théorème IV, Ghap. Il, § III) la valeur cherchée de A. Cette remarque conduit à une nouvelle proposition que je vais écrire :

Théorème II. — Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport

converge vers la limite A, la série (i) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites. Corollaire I. — Prenons pour exemple la série

(3) I, IX, Sx-, 4X^, ..., {n ~\- i)x", ....

Comme on trouvera dans cette hypothèse