PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI

convergentes, tantôt divergentes, selon la valeur attribuée à cette variable, tandis que d'autres restent toujours convergentes, quel que soit X, et d'autres toujours divergentes, excepté pour x = o. On peut ajouter que le théorème I ne laisse d'incertitude sur la convergence d'une semblable série que dans le cas où la valeur numérique de x devient égale à la constante positive représentée par y' c'est-à-dire lorsqu'on suppose

Dans ce cas particulier, la série est tantôt convergente, tantôt divergente, et la convergence dépend quelquefois du signe de la variable x. Par exemple, si dans la série (4)» pour laquelle A = i, on fait successivement

on obtiendra les deux suivantes

dont la première est divergente {i^oir dans le § II le corollaire du théorème III) et la seconde convergente, ainsi que cela résulte du théorème III (§ TII).

Il est encore essentiel de remarquer que, par suite du théorème 1, lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable x sera convergente pour une valeur numérique de X différente de zéro, elle restera convergente, si l'on vient à diminuer cette valeur numérique ou même à la faire décroître indéfiniment.

Lorsque deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x sont convergentes pour une même valeur de la variable, on peut leur appliquer les théorèmes V et VI du § III.

Cette remarque suffît pour établir les deux propositions que je vais énoncer :

Théorème III. — Supposons que les deux séries

\ cio, cii^, a-^x , . • . , o,iX , • • • >

( Oq, Oi^f o^x , ••., o^x , ...,

éiant à la /ois convergentes, lorsqu'on attribue à la variable x une certaine valeur, aient alors pour sommes respectives s et s' ,

(il) a^-{- ho, (a, + 6,)^, (a^-h b.2)x^, ..., (a„ 4- ^>„ )j?«, ...

sera, dans le même cas, une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s -{- s'.

Corollaire. — On étendra facilement ce théorème à tant de séries que l'on voudra. Par exemple, si les trois séries

Oj Cl\Xy et :) X , • . .,

c'q, t)\Xy b^x- , . . . , Cq, Cj X, C2X , ...

sont convergentes pour une même valeur attribuée à la variable x, et que l'on désigne par^, s', s" leurs sommes respectives,

«o+^o+Cfl, (aj H- 61 + c, )J7, («2+ ^2 + C2),r^ ...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s -+- /-f- s".

Théorème IV^ — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si de plus chacune des séries (10) reste convergente, lorsqu'on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques,

(«0*^0» {a,J)y + aibo)x, {a(>bi+ a^b^+ a^bn)x'^, ..., ( ..., {a^ib„+ a^bn-i + ...-}- aa-xbi+ anbo)x", ...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme ss' .