PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI. Ul

Corollaire I. — Le théorème précédent se trouve compris dans la formule , ^

qui subsiste dans le cas où chacune des séries (10) reste convergente lors même qu'on réduit ses différents termes à leurs valeurs numériques, et qui sert à développer dans cette hypothèse le produit des sommes des deux séries en une nouvelle série de même forme.

Corollaire IL — En répétant plusieurs fois de suite l'opération indiquée par l'équation (i3), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois ou d'un plus grand nombre de séries semblables aux séries (10), et dont chacune resterait convergente après la réduction de ses différents termes à leurs valeurs numériques. Le produit obtenu serait la somme d'une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Corollaire III. — Si dans les deux corollaires précédents on suppose que toutes les séries dont on multiplie les sommes deviennent égales, on obtiendra pour produit une puissance entière de la somme de chacune d'elles, et cette puissance se trouvera encore représentée par la somme d'une série du même genre. Par exemple, si dans l'équation (i3) on fait «0= ^^o» ^1 = ^^c ^2 = ^^2» • • • » on en tirera

(i4) {rtn-h aiX -{- rt^x^-h ...)-==■ al-h 9.aoaiœ -\- {2aoa.2-h al)x^-+- ... .

Corollaire IV. — Si l'on prend pour termes généraux des séries (10)

i .2.3 ... n et

fj.'{fj.'-,)(jx'-2)...{ix'~n + i)

a, [).' désignant deux quantités quelconques, et la variable x élant renfermée entre les limites x = — j,œ= -h i, chacune des séries (10)

142 COURS b'ANALYSE.

restera convergente, même lorsqu'on réduira ses différents termes à leurs valeurs numériques, et le terme général de la série (12) deviendra

rft(^ — 1). ..(fx — /i + i) [x{ix — i)...{ix — n + 2) [x' L 1 . 2 . 3 . . . /i i .2.6. . . {n — I ) 1

+ t: H-'{H-'-i)---{lJ-'-n-h^) ^ [x'(ix'-i)...{ix'-n-hi)l ^,„ i 1.2. 3. ..(/< — 1) 1.2.3...// J"^

iix + iJ.')iix-i-ix'—i){ix~hii'— 2)...{p.-^ lj.'—n-i-i) ^

Gela posé, si Ton appelle 9 ([x) la somme de la première des séries (10) dans l'hypothèse que l'on vient de faire, c'est-à-dire, si l'on pose

(i5) (p(jx)^i+ ^^+ ^^-■J}a:^.^...,

les sommes des séries (10) et (12) seront respectivement désignées, dans la même hypothèse, par (]p([jt.), ç ([/.') et 9 ([x -i- pi'); en sorte que l'équation (i3) deviendra

(16) o{ix)(^{ix') = (^{ix-hix').

Lorsque dans l'équation (i3) on remplace la somme de la série

par un polynôme composé d'un nombre fini de termes, on obtient une formule qui ne cesse jamais d'être exacte, tant que la série

demeure convergente. C'est ce que nous allons prouver directement, en établissant le théorème qui suit :

Théorème V. — 5/, la série (i) étant convergente , on multiplie la somme de cette série par le polynôme

(17) kx"^ -{- Ix'"-^ -h . . .-\-px ->r q^

dans lequel m désigne un nombre entier, on obtiendra pour produit la