PREMIERE PARTIE. ~ CHAPITRE VI. U
somme d'une nouvelle série convergente de même forme, dont le terme
général sera
pourvu que l'on considère comme nulles dans les premiers termes celles des quantités
qui se trouveront affectées d'indices négatifs : en d'autres termes, on aura
!{kx"' -\- Ix'"^"^ + . . . + />ii? + ^) («0+ «1^ + «2^- + . . .) = qa^-v- {qa^+ paQ)x + . . . + {qa,„ + pa,„^\ + . ..+ /«,+ ka„)x"' + (^«« + /?««-! + • • •+ la„,„+i-{- kan-,n)^n +
Démonstration. — Pour multiplier la somme de la série (i) par le polynôme (17), il suffira de la multiplier successivement par les différents termes de ce polynôme. On aura donc
(A"^"'+ Ix'"---^ + . . . + px + (7 ) ( «0 4- «1 .3^ -f- a,x- + . . .) =z q{aQ+ a^x + a<iX'^-\- . . .) +/?^(ao+ UiX -{- a^^x^-^- . . .) +
+ /^'""'(ao4- a^x -{- a,x^+ . . . ) + kx'"{aQ+ a,^ + a^x^+ ...).
Comme on a de plus, pour des valeurs entières quelconques de n,
on en conclura, en faisant croître n indéfiniment, et passant aux limites,
7 («3 + a, a^ + (22 57^ + . . . ) =r qaQ + qa^ x + qa,^ x- + . . . .
On trouvera de même
px{aQ-\- ayx -{- a2x'^-\- . . .) -=z pa^^x -^ puyX^ + pa^x^ -{- . . ., ' »
/^'«-'(aoH- a^x + aiX^+. . .) — la^x"'-'^ + la^x"^ + la^x"'^^ H- . . . , A-jr'«(ao+ a^x -V- a^x^ + . . .) — ka^x'" + ka^x'^+^-h ka^x"'+^+
ikk COURS D'ANALYSE.
Si l'on ajoute ces dernières équations, et qu'en formant la somme des seconds membres on réunisse les coefficients des puissances semblables de la variable x, on obtiendra précisément la formule (i8).
Concevons maintenant que dans la série (i) on fasse varier la valeur de X par degrés insensibles. Tant que la série restera convergente, c'est-à-dire tant que la valeur de ce demeurera comprise entre les
limites
la somme de la série sera (en vertu du théorème 1, § I) une fonction continue de la variable x. Soit '^(x) cette fonction continue. L'équation
subsistera pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — ^, H- ^, ce que nous indiquerons en écrivant ces limites à côté
de la série, comme on le voit ici :
(ig) o{û^) :=^ a(,-\- aiœ -\- a^^'-h. . . (^=r— — , cczz^-h-rj-
Lorsque la série est supposée connue, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction (^(x) sous forme finie, et c'est là ce qu'on appelle sommer la série. Mais le plus souvent la fonction o(x) est donnée, et l'on se propose de revenir de cette fonction à la série, ou, en d'autres termes, de développer la fonction en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable X. Il est facile d'établir à ce sujet la proposition que je vais énoncer :
Théorème VI . — Une fonction continue de la variable x ne peut être développée que d'une seule manière en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable .
Démonstration. — En effet, supposons qu'on ait développé par deux
