PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE Vi. U

méthodes différentes la fonction (^(x), et soient

Clfi, U^X, (l^X' , •••5 Cl'ii'^ > • • • > ,

Oq, o^Xy b-iX , ■ • • f o„x y ...

les deux développements, c'est-à-dire deux séries dont chacune, étant convergente pour des valeurs de o^ différentes de zéro, ait pour somme, tant qu'elle demeure convergente, la fonction 9(^1?). Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très petites valeurs numériques de X, on aura, pour de semblables valeurs,

aQ-\- ayX -\- a^x^ -h . . .z= bd-i- biX -h b^x^ -\- . . . . Comme, en faisant évanouir x, on tire de l'équation précédente

il en résulte qu'on peut la réduire généralement à

aiX -h- a^x--h . . .:=. b^x + biX'^-\- . . . OU, ce qui revient au même, à

Si l'on multiplie par - les deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante

a^-^- a^x + . . .z=z bi-+ b^x -^- . . .,

qui devra encore subsister pour de très petites valeurs numériques de la variable x, et de laquelle on conclura, en posant o^ = o.

En continuant de même, on ferait voir que les constantes a^, ai, a.,, ... sont respectivement égales aux constantes b^, h^, h^, ..., d'où il suit que les deux développements de la fonction ^{x) sont identiques.

Le Calcul différentiel fournit des méthodes très expéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces

QEuvres de C. — S. H, t. WI. IQ

tnéthodes, et nous nous bornerons pour l'instant à faire connaître, avec le développement de la fonction (i -+-xy, dans laquelle [x désigne une quantité quelconque, deux autres développements que l'on ramène facilement au premier, savoir, ceux des fonctions

A^ et L(i + x),

A désignant une constante positive, et L la caractéristique des logarithmes dans un système choisi à volonté. En conséquence, nous allons résoudre l'un après l'autre les trois problèmes qui suivent :

Problème I. — Développer, lorsque cela se peut, la fonction

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Solution. — Si d'abord on suppose ]x = m,m désignant un nombre entier quelconque, on aura, par la formule de Newton,

il ->r x)'^ =- 1 -\ XH ^^ X^--{- . . ..

La série dont la somme constitue le second membre de cette formule est toujours composée d'un nombre fini de termes; mais, si l'on y remplace le nombre entier m par une quantité quelconque a, la nouvelle série que l'on obtiendra, savoir

se trouvera composée en général d'un nombre indéfini de termes, et sera convergente seulement pour des valeurs numériques de x inférieures à l'unité. Soit, dans cette hypothèse, cp([J.) la somme de la nouvelle série, en sorte qu'on ait

(i5) Qf{^)-i-^^x^^-^ — -^a^2 + ... (^=-1, ^ = + 1).

En verlu du théorème I (§ I), ç(p-) sera fonction continue de la va-