PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE VI. IW

riable [x entre des limites quelconques de cette variable, et Fon aura (voirie théorème III, corollaire IV)

(i6) cp(fx)9(/z')=i(p(fA-+-/^').

Cette dernière équation étant entièrement semblable à l'équation (2) du Chapitre V (§ I) se résoudra de la même manière, et l'on en conclura

La valeur de <p([J.) étant ainsi déterminée, si on la substitue dans la formule (i5), on trouvera, pour toutes les valeurs de o^ comprises entre les limites a? = — i , ^ = -f- i ,

(20) (1 -i-œ)^=i-^ ^ar+ ^^^~'^a;^ + . .. (.r = — i, ^; = -f- i).

Lorsque la valeur numérique de x devient supérieure à l'unité, la série (5), n'étant plus convergente, cesse d'avoir une somme, en sorte que l'équation (20) ne subsiste plus. Dans la même hypothèse, il devient impossible, ainsi qu'on le prouvera plus tard à l'aide du Calcul infinitésimal, de développer la fonction (i -h xy en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable X.

Corollaire 1. — Si dans l'équation (20) on remplace [x par - et œp'dv OLX, OL désignant une quantité infiniment petite, on aura, pour toutes les valeurs de a^r renfermées entre les limites ~ t, + t, ou, ce qui revient

au même, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites

(1 + aix)'^—\ -\ h —(1 — a) H 5(1 — a) (i — 2a)

^zzr , X ^=i-\

Cette dernière équation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numérique de a, si l'on désigne à l'ordinaire, par l'abréviation lim placée devant une expression qui renferme la variable a, la

limite vers laquelle converge cette expression, tandis que la valeur numérique de a décroît indéfiniment, on trouvera, en passant aux limites,

(21) limd-h 3{^)*=n 1 i r, +... (^ = — 00, a- =: -h 00).

Il reste à chercher la limite de (i + nxy . Or, en premier lieu, on tirera de la formule précédente

lim(n- a)°'~ I -f-

1 1.2 1.2.3 ou, en d'autres termes,

(22) Iim(i + a)*=6?,

e désignant la base des logarithmes népériens [zjo^rle § I, équat. (6)].

On en conclura immédiatement

lim(n- a r)*^ = e,

lim(i 4- a^)'='=:limL(' + a^)*-^j = e^.

Si maintenanton remet la valeur de lim(i -h aa7)"dans l'équation (21),

on obtiendra la suivante :

(28) 6^=1-1 1 1 ;r+... (d7 =z — 00, O; zr;-h 00).

On pourrait arriver directement à l'équation (23) en observant que la série

est convergente pour toutes les valeurs possibles de la variable x, et cherchant la fonction de x qui représente la somme de cette même