PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE VI

comme on l'a fait voir. L'équation (26) doit donc alors subsister, en sorte qu'on a

Si l'on prenait au contraire j7= — i, la série (27) deviendrait divergente et n'aurait plus de somme.

On peut remarquer encore que, si après avoir écrit — oc- au lieu de X dans la formule (26), on change à la fois les signes des deux membres, on obtiendra la suivante

(29) ir^--2 W.r+ ^ + y 4-... (^ — ,,^ — + ,).

Problème II. — Développer la fonction

dans laquelle A désigne un nombre quelconque , en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la rmriahle x.

Solution. — Désignons toujours par la caractéristique 1 les logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e. On aura, d'après la définition même des logarithmes,

A = e»(A), et l'on en conclura

Par suite, en ayant égard à l'équation (23), on trouvera

( {x z=z — OC, ^=+00).

Cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable œ.

Problème III. — La caractéristique L désignant les logarithmes pris

dans le système dont la hase est A, développer, lorsque cela se peut, la fonction

en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Solution. — Désignons toujours par 1 la caractéristique des logarithmes népériens. On aura, en vertu des propriétés connues des logarithmes,

et par suite, en ayant égard à l'équation (26), on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites — i, -h i,

(32) L(l+J?)=: ^^(j:— ^ + y -...j (jr=z— I,^rz7-f-l).

Cette dernière formule subsiste dans le cas même où l'on prend x ^=i\ mais elle cesse d'avoir lieu lorsqu'on suppose x —- — i ou o;^ > i .