DES EXPRESSIONS IMAGINAIRES ET DE LEURS MODULES

§ I. — Considérations générales sur les expressions imaginaires.

En Analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui, prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n'ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant et altérant selon des règles fixes, ou ces équations elles-mêmes, ou les symboles qu'elles renferment. L'emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs et d'écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C'est ce qu'on a déjà vu dans le second paragraphe du troisième Chapitre, oîi la formule (9) fournit une valeur symbolique très simple de l'inconnue X assujettie à vérifier les équations (4). Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de quelque importance en Analyse, on doit surtout distinguer celles que l'on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment on peut être conduit à en faire usage.

On sait que les sinus et cosinus de l'arc a + b sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs a et b par les formules

( cos,{a + b) — cosacosb — sinasin 0, ( sin (a + 6) = sinacos6 + sin^ cosa.

OEuvres de C. — S. II, t. UI. 20

Or, sans prendre la peine de retenir ces formules, on a un moyen fort simple de les retrouver à volonté. Il suffît, en effet, d'avoir égard h la remarque suivante.

Supposons que l'on multiplie l'une par l'autre les deux expressions symboliques

cosa -t- v/ — I siiiiT,

cosb -h- v^— I sin/v,

en opérant d'après les règles connues de la multiplication algébrique, comme si \J — i était une quantité réelle dont le carré fût égal à — i. Le produit obtenu se composera de deux parties : l'une toute réelle, l'autre ayant pour facteur \/ — i ; et la partie réelle fournira la valeur de cos(«-h/>), tandis que le coefficient s/— i fournira celle de sin(«-f-/>). Pour constater cette remarque, on écrit la formule

Les trois expressions que renferme l'équation précédente, savoir

cos(rt + 6) -h \/— i sin(a + b)

= (cosa + v^ — I sina) {cosb m- \/ — i sin b).

cosa -+- V— I sina,

cosi -^ \/— i sinb,

ces (a + 6) + v/— I sin (a + b),

sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s'interpréter d'après les conventions généralement établies, et ne représentent rien de réel. On les a nommées pour cette raison expressions imaginaires. L'équation (2) elle-même, prise à la lettre, se trouve inexacte et n'a pas de sens. Pour en tirer des résultats exacts, il faut, en premier lieu, développer son second membre par la multiplication algébrique, ce qui réduit cette équation à

cos(a -+- b) -h v/— 1 sin(rt -+- b)

= cosacos^ — sina sin 6 + \/— i (sina cosb + sinècosa).

Il faut, en second lieu, dans l'équation (3), égaler la partie réelhî du